Primal and Dual Gap Functions for Generalized Nash Equilibrium Problems and Quasi-Variational Inequalities

Primale und duale Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme und Quasi-Variationsungleichungen

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-106027
  • In this thesis we study smoothness properties of primal and dual gap functions for generalized Nash equilibrium problems (GNEPs) and finite-dimensional quasi-variational inequalities (QVIs). These gap functions are optimal value functions of primal and dual reformulations of a corresponding GNEP or QVI as a constrained or unconstrained optimization problem. Depending on the problem type, the primal reformulation uses regularized Nikaido-Isoda or regularized gap function approaches. For player convex GNEPs and QVIs of the so-called generalizedIn this thesis we study smoothness properties of primal and dual gap functions for generalized Nash equilibrium problems (GNEPs) and finite-dimensional quasi-variational inequalities (QVIs). These gap functions are optimal value functions of primal and dual reformulations of a corresponding GNEP or QVI as a constrained or unconstrained optimization problem. Depending on the problem type, the primal reformulation uses regularized Nikaido-Isoda or regularized gap function approaches. For player convex GNEPs and QVIs of the so-called generalized `moving set' type the respective primal gap functions are continuously differentiable. In general, however, these primal gap functions are nonsmooth for both problems. Hence, we investigate their continuity and differentiability properties under suitable assumptions. Here, our main result states that, apart from special cases, all locally minimal points of the primal reformulations are points of differentiability of the corresponding primal gap function. Furthermore, we develop dual gap functions for a class of GNEPs and QVIs and ensuing unconstrained optimization reformulations of these problems based on an idea by Dietrich (``A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities'', Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393). For this purpose we rewrite the primal gap functions as a difference of two strongly convex functions and employ the Toland-Singer duality theory. The resulting dual gap functions are continuously differentiable and, under suitable assumptions, have piecewise smooth gradients. Our theoretical analysis is complemented by numerical experiments. The solution methods employed make use of the first-order information established by the aforementioned theoretical investigations.show moreshow less
  • In dieser Dissertation wurden die Glattheitseigenschaften von primalen und dualen Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) und Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) untersucht. Diese Gap-Funktionen sind Optimalwertfunktionen von primalen und dualen Umformulierungen eines GNEPs oder QVIs als restringiertes oder unrestringiertes Optimierungsproblem. Für gewisse Teilklassen von GNEPs (Spezialfall von `player convex' GNEPs) und QVIs (`generalized moving set case') sind diese primalen Gap-Funktionen überall stetigIn dieser Dissertation wurden die Glattheitseigenschaften von primalen und dualen Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) und Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) untersucht. Diese Gap-Funktionen sind Optimalwertfunktionen von primalen und dualen Umformulierungen eines GNEPs oder QVIs als restringiertes oder unrestringiertes Optimierungsproblem. Für gewisse Teilklassen von GNEPs (Spezialfall von `player convex' GNEPs) und QVIs (`generalized moving set case') sind diese primalen Gap-Funktionen überall stetig differenzierbar, für allgemeine GNEPs und QVIs jedoch nicht. Weitere Untersuchungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit ergaben, dass die primalen Gap-Funktionen unter geeigneten Bedingungen, abgesehen von Sonderfällen, in allen lokalen Minima der entsprechenden primalen Umformulierung differenzierbar sind. In dieser Dissertation wurden außerdem duale Gap-Funktionen für bestimmte Klassen von GNEPs und QVIs entwickelt, indem die primalen Gap-Funktionen basierend auf einer Idee von Dietrich (H. Dietrich: A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393) als Differenz zweier gleichmäßig konvexer Funktionen dargestellt wurden und auf diese beiden Funktionen die Toland-Singer-Dualitätstheorie angewendet wurde. Es stellte sich heraus, dass diese dualen Gap-Funktionen stetig differenzierbar sind und unter geeigneten Bedingungen sogar stückweise stetig differenzierbare Gradienten besitzen. Die Ergebnisse in dieser Dissertation wurden durch numerische Berechnungen für diverse Testprobleme mittels bekannter Optimierungsverfahren erster Ordnung unterstützt.show moreshow less

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Metadaten
Author: Nadja Harms
URN:urn:nbn:de:bvb:20-opus-106027
Document Type:Doctoral Thesis
Granting Institution:Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Faculties:Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Mathematik
Referee:Prof. Dr. Christian Kanzow
Date of final exam:2014/11/03
Language:English
Year of Completion:2014
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
GND Keyword:Nash-Gleichgewicht; Dualitätstheorie; Nichtglatte Optimierung; Parametrische Optimierung; Spieltheorie
Tag:Conjugate function; DC optimization; Dual gap function; Generalized Nash equilibrium; Nikaido-Isoda function; Parametric optimization; Quasi-variational inequalities; Regularized gap function; Set-valued mapping; optimal solution mapping
MSC-Classification:49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Mxx Numerical methods [See also 90Cxx, 65Kxx] / 49M29 Methods involving duality
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Kxx Mathematical programming, optimization and variational techniques / 65K10 Optimization and variational techniques [See also 49Mxx, 93B40]
90-XX OPERATIONS RESEARCH, MATHEMATICAL PROGRAMMING / 90Cxx Mathematical programming [See also 49Mxx, 65Kxx] / 90C31 Sensitivity, stability, parametric optimization
90-XX OPERATIONS RESEARCH, MATHEMATICAL PROGRAMMING / 90Cxx Mathematical programming [See also 49Mxx, 65Kxx] / 90C33 Complementarity and equilibrium problems and variational inequalities (finite dimensions)
91-XX GAME THEORY, ECONOMICS, SOCIAL AND BEHAVIORAL SCIENCES / 91Axx Game theory / 91A06 n-person games, n > 2
91-XX GAME THEORY, ECONOMICS, SOCIAL AND BEHAVIORAL SCIENCES / 91Axx Game theory / 91A10 Noncooperative games
Release Date:2014/11/19
Licence (German):License LogoDeutsches Urheberrecht