Optimal Control and Function Identification in Biological Processes

Optimalsteuerung und Funktionenidentifikation bei biologischen Prozessen

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• Mathematical modelling, simulation, and optimisation are core methodologies for future developments in engineering, natural, and life sciences. This work aims at applying these mathematical techniques in the field of biological processes with a focus on the wine fermentation process that is chosen as a representative model. In the literature, basic models for the wine fermentation process consist of a system of ordinary differential equations. They model the evolution of the yeast population number as well as the concentrations ofMathematical modelling, simulation, and optimisation are core methodologies for future developments in engineering, natural, and life sciences. This work aims at applying these mathematical techniques in the field of biological processes with a focus on the wine fermentation process that is chosen as a representative model. In the literature, basic models for the wine fermentation process consist of a system of ordinary differential equations. They model the evolution of the yeast population number as well as the concentrations of assimilable nitrogen, sugar, and ethanol. In this thesis, the concentration of molecular oxygen is also included in order to model the change of the metabolism of the yeast from an aerobic to an anaerobic one. Further, a more sophisticated toxicity function is used. It provides simulation results that match experimental measurements better than a linear toxicity model. Moreover, a further equation for the temperature plays a crucial role in this work as it opens a way to influence the fermentation process in a desired way by changing the temperature of the system via a cooling mechanism. From the view of the wine industry, it is necessary to cope with large scale fermentation vessels, where spatial inhomogeneities of concentrations and temperature are likely to arise. Therefore, a system of reaction-diffusion equations is formulated in this work, which acts as an approximation for a model including computationally very expensive fluid dynamics. In addition to the modelling issues, an optimal control problem for the proposed reaction-diffusion fermentation model with temperature boundary control is presented and analysed. Variational methods are used to prove the existence of unique weak solutions to this non-linear problem. In this framework, it is possible to exploit the Hilbert space structure of state and control spaces to prove the existence of optimal controls. Additionally, first-order necessary optimality conditions are presented. They characterise controls that minimise an objective functional with the purpose to minimise the final sugar concentration. A numerical experiment shows that the final concentration of sugar can be reduced by a suitably chosen temperature control. The second part of this thesis deals with the identification of an unknown function that participates in a dynamical model. For models with ordinary differential equations, where parts of the dynamic cannot be deduced due to the complexity of the underlying phenomena, a minimisation problem is formulated. By minimising the deviations of simulation results and measurements the best possible function from a trial function space is found. The analysis of this function identification problem covers the proof of the differentiability of the function–to–state operator, the existence of minimisers, and the sensitivity analysis by means of the data–to–function mapping. Moreover, the presented function identification method is extended to stochastic differential equations. Here, the objective functional consists of the difference of measured values and the statistical expected value of the stochastic process solving the stochastic differential equation. Using a Fokker-Planck equation that governs the probability density function of the process, the probabilistic problem of simulating a stochastic process is cast to a deterministic partial differential equation. Proofs of unique solvability of the forward equation, the existence of minimisers, and first-order necessary optimality conditions are presented. The application of the function identification framework to the wine fermentation model aims at finding the shape of the toxicity function and is carried out for the deterministic as well as the stochastic case.
• Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung sind wichtige Methoden für künftige Entwicklungen in Ingenieurs-, Natur- und Biowissenschaften. Ziel der vorliegende Arbeit ist es diese mathematische Methoden im Bereich von biologischen Prozessen anzuwenden. Dabei wurde die Weingärung als repräsentatives Modell ausgewählt. Erste Modelle der Weingärung, die man in der Literatur findet, bestehen aus gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese modellieren den Verlauf der Populationszahlen der Hefe, sowie die Konzentrationen vonMathematische Modellierung, Simulation und Optimierung sind wichtige Methoden für künftige Entwicklungen in Ingenieurs-, Natur- und Biowissenschaften. Ziel der vorliegende Arbeit ist es diese mathematische Methoden im Bereich von biologischen Prozessen anzuwenden. Dabei wurde die Weingärung als repräsentatives Modell ausgewählt. Erste Modelle der Weingärung, die man in der Literatur findet, bestehen aus gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese modellieren den Verlauf der Populationszahlen der Hefe, sowie die Konzentrationen von verwertbarem Stickstoff, Zucker und Ethanol. In dieser Arbeit wird auch die Konzentration von molekularem Sauerstoff betrachtet um den Wandel des Stoffwechsels der Hefe von aerob zu anaerob zu erfassen. Weiterhin wird eine ausgefeiltere Toxizitätsfunktion benutzt. Diese führt zu Simulationsergebnissen, die im Vergleich zu einem linearen Toxizitätsmodell experimentelle Messungen besser reproduzieren können. Außerdem spielt eine weitere Gleichung für die zeitliche Entwicklung der Temperatur eine wichtige Rolle in dieser Arbeit. Diese eröffnet die Möglichkeit den Gärprozess in einer gewünschten Weise zu beeinflussen, indem man die Temperatur durch einen Kühlmechanismus verändert. Für industrielle Anwendungen muss man sich mit großen Fermentationsgefäßen befassen, in denen räumliche Abweichungen der Konzentrationen und der Temperatur sehr wahrscheinlich sind. Daher ist in dieser Arbeit ein System von Reaktion-Diffusions Gleichungen formuliert, welches eine Approximation an ein Modell mit rechenaufwändiger Strömungsmechanik darstellt. Neben der Modellierung wird in dieser Arbeit ein Optimalsteuerungsproblem für das vorgestellte Gärmodell mit Reaktions-Diffusions Gleichungen und Randkontrolle der Temperatur gezeigt und analysiert. Variationelle Methoden werden benutzt, um die Existenz von eindeutigen schwachen Lösungen von diesem nicht-linearen Modell zu beweisen. Das Ausnutzen der Hilbertraumstruktur von Zustands- und Kontrolraum macht es möglich die Existenz von Optimalsteuerungen zu beweisen. Zusätzlich werden notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung vorgestellt. Diese charakterisieren Kontrollen, die das Zielfunktional minimieren. Ein numerisches Experiment zeigt, dass die finale Konzentration des Zuckers durch eine passend ausgewählte Steuerung reduziert werden kann. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Identifizierung einer unbekannten Funktion eines dynamischen Modells. Es wird ein Minimierungsproblem für Modelle mit gewöhnlichen Differentialgleichungen, bei denen ein Teil der Dynamik aufgrund der Komplexität der zugrundeliegenden Phänomene nicht hergeleitet werden kann, formuliert. Die bestmögliche Funktion aus einem Testfunktionenraum wird dadurch ausgewählt, dass Abweichungen von Simulationsergebnissen und Messungen minimiert werden. Die Analyse dieses Problems der Funktionenidentifikation beinhaltet den Beweis der Differenzierbarkeit des Funktion–zu–Zustand Operators, die Existenz von Minimierern und die Sensitivitätsanalyse mit Hilfe der Messung–zu–Funktion Abbildung. Weiterhin wird diese Funktionenidentifikationsmethode für stochastische Differentialgleichungen erweitert. Dabei besteht das Zielfunktional aus dem Abstand von Messwerten und dem Erwartungswert des stochastischen Prozesses, der die stochastische Differentialgleichung löst. In dem man die Fokker-Planck Gleichung benutzt wird das wahrscheinlichkeitstheoretische Problem einen stochastischen Prozess zu simulieren in eine deterministische partielle Differentialgleichung überführt. Es werden Beweise für die eindeutige Lösbarkeit der Vorwärtsgleichung, die Existenz von Minimierern und die notwendigen Bedingungen erster Ordnung geführt. Die Anwendung der Funktionenidentifikation auf die Weingärung zielt darauf ab die Form der Toxizitätsfunktion herauszufinden und wird sowohl für den deterministischen als auch für den stochastischen Fall durchgeführt.