## Algebraic and Arithmetic Properties of Graph Spectra

### Algebraische und Arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-230850
• In the present thesis we investigate algebraic and arithmetic properties of graph spectra. In particular, we study the algebraic degree of a graph, that is the dimension of the splitting field of the characteristic polynomial of the associated adjacency matrix over the rationals, and examine the question whether there is a relation between the algebraic degree of a graph and its structural properties. This generalizes the yet open question Which graphs have integral spectra?'' stated by Harary and Schwenk in 1974. We provide an overview ofIn the present thesis we investigate algebraic and arithmetic properties of graph spectra. In particular, we study the algebraic degree of a graph, that is the dimension of the splitting field of the characteristic polynomial of the associated adjacency matrix over the rationals, and examine the question whether there is a relation between the algebraic degree of a graph and its structural properties. This generalizes the yet open question Which graphs have integral spectra?'' stated by Harary and Schwenk in 1974. We provide an overview of graph products since they are useful to study graph spectra and, in particular, to construct families of integral graphs. Moreover, we present a relation between the diameter, the maximum vertex degree and the algebraic degree of a graph, and construct a potential family of graphs of maximum algebraic degree. Furthermore, we determine precisely the algebraic degree of circulant graphs and find new criteria for isospectrality of circulant graphs. Moreover, we solve the inverse Galois problem for circulant graphs showing that every finite abelian extension of the rationals is the splitting field of some circulant graph. Those results generalize a theorem of So who characterized all integral circulant graphs. For our proofs we exploit the theory of Schur rings which was already used in order to solve the isomorphism problem for circulant graphs. Besides that, we study spectra of zero-divisor graphs over finite commutative rings. Given a ring $$R$$, the zero-divisor graph over $$R$$ is defined as the graph with vertex set being the set of non-zero zero-divisors of $$R$$ where two vertices $$x,y$$ are adjacent if and only if $$xy=0$$. We investigate relations between the eigenvalues of a zero-divisor graph, its structural properties and the algebraic properties of the respective ring.
• In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir algebraische und arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren. Insbesondere studieren wir den algebraischen Grad eines Graphen, d.h. die Dimension des Zerfällungskörpers des charakteristischen Polynoms der zugehörigen Adjazenzmatrix über den rationalen Zahlen, und beschäftigen uns mit der Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen dem algebraischen Grad eines Graphen und seinen strukturellen Eigenschaften gibt. Dies verallgemeinert die bis heute noch offene Fragestellung "Welche Graphen habenIn der vorliegenden Dissertation untersuchen wir algebraische und arithmetische Eigenschaften von Graph Spektren. Insbesondere studieren wir den algebraischen Grad eines Graphen, d.h. die Dimension des Zerfällungskörpers des charakteristischen Polynoms der zugehörigen Adjazenzmatrix über den rationalen Zahlen, und beschäftigen uns mit der Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen dem algebraischen Grad eines Graphen und seinen strukturellen Eigenschaften gibt. Dies verallgemeinert die bis heute noch offene Fragestellung "Welche Graphen haben ganzzahliges Spektrum?", welche 1974 von Harary und Schwenk aufgeworfen wurde. Wir geben einen Überblick über verschiedene Graphprodukte, da diese oftmals hilfreich sind bei der Untersuchung von Graph Spektren, und konstruieren damit Familien von integralen Graphen. Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen dem Diameter, dem maximalen Eckengrad und dem algebraischen Grad von Graphen vor, und konstruieren eine potenzielle Familie von Graphen, welche alle maximalen algebraischen Grad haben. Zudem bestimmen wir den algebraischen Grad zirkulärer Graphen und finden neue Kriterien für Isospektralität solcher Graphen. Darüber hinaus lösen wir das inverse Galois Problem für zirkuläre Graphen, indem wir zeigen, dass jede endliche abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen Zerfällungskörper eines zirkulären Graphen ist. Diese Resultate verallgemeinern einen Satz von So, in dem sämtliche integrale zirkuläre Graphen charakterisiert werden. Für unsere Beweise verwenden wir die Theorie der Schur Ringe, die bereits verwendet wurde, um das Isomorphieproblem für zirkuläre Graphen zu lösen. Zu guter Letzt untersuchen wir Spektren von Nullteilergraphen über kommutativen Ringen. Zu einem gegebenen Ring $$R$$ ist der zugehörige Nullteilergraph über $$R$$ definiert als der Graph, dessen Eckenmenge den Nullteilern von $$R$$ entspricht, und in dem je zwei Ecken $$x,y$$ benachbart sind, wenn $$xy=0$$ gilt. Wir studieren Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten von Nullteilergraphen, deren strukturellen Eigenschaften und den algebraischen Eigenschaften der entsprechenden Ringe.