Rayleigh–quotient optimization on tensor products of Grassmannians

Rayleigh–Quotient Optimierung auf Tensorprodukte von Graßmann-Mannigfaltigkeiten

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-83383
  • Applications in various research areas such as signal processing, quantum computing, and computer vision, can be described as constrained optimization tasks on certain subsets of tensor products of vector spaces. In this work, we make use of techniques from Riemannian geometry and analyze optimization tasks on subsets of so-called simple tensors which can be equipped with a differentiable structure. In particular, we introduce a generalized Rayleigh-quotient function on the tensor product of Grassmannians and on the tensor product of Lagrange-Applications in various research areas such as signal processing, quantum computing, and computer vision, can be described as constrained optimization tasks on certain subsets of tensor products of vector spaces. In this work, we make use of techniques from Riemannian geometry and analyze optimization tasks on subsets of so-called simple tensors which can be equipped with a differentiable structure. In particular, we introduce a generalized Rayleigh-quotient function on the tensor product of Grassmannians and on the tensor product of Lagrange- Grassmannians. Its optimization enables a unified approach to well-known tasks from different areas of numerical linear algebra, such as: best low-rank approximations of tensors (data compression), computing geometric measures of entanglement (quantum computing) and subspace clustering (image processing). We perform a thorough analysis on the critical points of the generalized Rayleigh-quotient and develop intrinsic numerical methods for its optimization. Explicitly, using the techniques from Riemannian optimization, we present two type of algorithms: a Newton-like and a conjugated gradient algorithm. Their performance is analysed and compared with established methods from the literature.show moreshow less
  • Viele Fragestellungen aus den unterschiedlichen mathematischen Disziplinen, wie z.B. Signalverarbeitung, Quanten-Computing und Computer-Vision, können als Optimierungsprobleme auf Teilmengen von Tensorprodukten von Vektorräumen beschrieben werden. In dieser Arbeit verwenden wir Techniken aus der Riemannschen Geometrie, um Optimierungsprobleme für Mengen von sogenannten einfachen Tensoren, welche mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet werden können, zu untersuchen. Insbesondere führen wir eine verallgemeinerteViele Fragestellungen aus den unterschiedlichen mathematischen Disziplinen, wie z.B. Signalverarbeitung, Quanten-Computing und Computer-Vision, können als Optimierungsprobleme auf Teilmengen von Tensorprodukten von Vektorräumen beschrieben werden. In dieser Arbeit verwenden wir Techniken aus der Riemannschen Geometrie, um Optimierungsprobleme für Mengen von sogenannten einfachen Tensoren, welche mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet werden können, zu untersuchen. Insbesondere führen wir eine verallgemeinerte Rayleigh-Quotienten-Funktion auf dem Tensorprodukt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten bzw. Lagrange-Graßmann-Mannigfaltigkeiten ein. Dies führt zu einem einheitlichen Zugang zu bekannten Problemen aus verschiedenen Bereichen der numerischen linearen Algebra, wie z.B. die Niedrig–Rang–Approximation von Tensoren (Datenkompression), die Beschreibung geometrischer Maße für Quantenverschränkung (Quanten-Computing) und Clustering (Bildverarbeitung). Wir führen eine gründliche Analyse der kritischen Punkte des verallgemeinerten Rayleigh-Quotienten durch und entwickeln intrinsische numerische Methoden für dessen Optimierung. Wir stellen zwei Arten von Algorithmen vor, die wir mit Hilfe von Techniken aus der Riemannsche Optimierung entwickeln: eine mit Gemeinsamkeiten zum Newton-Verfahren und eine zum CG-Verfahren ähnliche. Wir analysieren die Performance der Algorithmen und vergleichen sie mit gängigen Methoden aus der Literatur.show moreshow less

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Metadaten
Author: Oana Curtef
URN:urn:nbn:de:bvb:20-opus-83383
Document Type:Doctoral Thesis
Granting Institution:Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Faculties:Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Mathematik
Date of final exam:2013/05/22
Language:English
Year of Completion:2012
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
GND Keyword:Optimierung; Riemannsche Geometrie; Grassmann-Mannigfaltigkeit; Konjugierte-Gradienten-Methode; Newton-Verfahren
Tag:Maße für Quantenverschränkung; Newtonverfahren; Riemannsche Optimierung; Verfahren der konjugierten Gradienten
Conjugate gradient method; Grassmann Manifold; Newton method; Riemannian optimization; enatnglement measure; subspace clustering; tensor rank
MSC-Classification:53-XX DIFFERENTIAL GEOMETRY (For differential topology, see 57Rxx. For foundational questions of differentiable manifolds, see 58Axx) / 53Bxx Local differential geometry / 53B21 Methods of Riemannian geometry
53-XX DIFFERENTIAL GEOMETRY (For differential topology, see 57Rxx. For foundational questions of differentiable manifolds, see 58Axx) / 53Bxx Local differential geometry / 53B50 Applications to physics
57-XX MANIFOLDS AND CELL COMPLEXES (For complex manifolds, see 32Qxx) / 57Rxx Differential topology (For foundational questions of differentiable manifolds, see 58Axx; for infinite-dimensional manifolds, see 58Bxx) / 57R50 Diffeomorphisms
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Yxx Computer aspects of numerical algorithms / 65Y20 Complexity and performance of numerical algorithms [See also 68Q25]
Release Date:2013/10/16
Advisor:Prof. Dr. Uwe Helmke
Licence (German):License LogoDeutsches Urheberrecht