TY - THES A1 - Geiselhart, Roman T1 - Advances in the stability analysis of large-scale discrete-time systems T1 - Fortschritte in der Stabilitätsanalyse großskaliger zeitdiskreter Systeme N2 - Several aspects of the stability analysis of large-scale discrete-time systems are considered. An important feature is that the right-hand side does not have have to be continuous. In particular, constructive approaches to compute Lyapunov functions are derived and applied to several system classes. For large-scale systems, which are considered as an interconnection of smaller subsystems, we derive a new class of small-gain results, which do not require the subsystems to be robust in some sense. Moreover, we do not only study sufficiency of the conditions, but rather state an assumption under which these conditions are also necessary. Moreover, gain construction methods are derived for several types of aggregation, quantifying how large a prescribed set of interconnection gains can be in order that a small-gain condition holds. N2 - Es werden großskalige zeitdiskrete Systeme betrachtet, deren rechte Seite nicht als stetig angenommen wird. Konstruktive Ansätze um Lyapunovfunktionen zu berechnen werden hergeleitet und auf mehrere Systemklassen angewandt. Für großskalige Systeme, die beschrieben sind durch die Kopplung kleinerer Systeme, wird eine neue Klasse von sogenannten Small-Gain Resultaten vorgestellt, die nicht verlangt, dass die Subsysteme robust sein müssen. Zudem untersuchen wir die Notwendigkeit der geforderten Bedingungen. Zusätzlich werden Gainkonstruktionsmethoden für verschiedene Typen von Verknüpfung hergeleitet, welche quantifizieren, wie groß eine vorgegebene Menge von Kopplungsgains sein kann, so dass eine Small-Gain-Bedingung erfüllt ist. KW - Ljapunov-Funktion KW - Konstruktionsmethoden KW - Ljapunov-Stabilitätstheorie KW - Nichtlineare Funktionalgleichung Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-112963 ER - TY - THES A1 - Pröll, Sebastian T1 - Stability of Switched Epidemiological Models T1 - Stabilität geschalteter epidemiologischer Modelle N2 - In this thesis it is shown how the spread of infectious diseases can be described via mathematical models that show the dynamic behavior of epidemics. Ordinary differential equations are used for the modeling process. SIR and SIRS models are distinguished, depending on whether a disease confers immunity to individuals after recovery or not. There are characteristic parameters for each disease like the infection rate or the recovery rate. These parameters indicate how aggressive a disease acts and how long it takes for an individual to recover, respectively. In general the parameters are time-varying and depend on population groups. For this reason, models with multiple subgroups are introduced, and switched systems are used to carry out time-variant parameters. When investigating such models, the so called disease-free equilibrium is of interest, where no infectives appear within the population. The question is whether there are conditions, under which this equilibrium is stable. Necessary mathematical tools for the stability analysis are presented. The theory of ordinary differential equations, including Lyapunov stability theory, is fundamental. Moreover, convex and nonsmooth analysis, positive systems and differential inclusions are introduced. With these tools, sufficient conditions are given for the disease-free equilibrium of SIS, SIR and SIRS systems to be asymptotically stable. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die Ausbreitung von Infektionskrankheiten mit Hilfe von mathematischen Modellen beschreiben kann. Anhand solcher Modelle möchte man mehr über die Dynamik von Epidemien lernen und vorhersagen, wie sich eine gegebene Infektionskrankheit innerhalb einer Population ausbreitet. Zunächst werden gewöhnliche Differentialgleichungen verwendet, um grundlegende epidemiologische Modelle aufzustellen. Hierbei unterscheidet man sogenannte SIR und SIS Modelle, je nachdem ob die betrachtete Krankheit einem Individuum nach seiner Heilung Immunität verleiht oder nicht. Charakteristisch für Infektionskrankheiten sind Parameter wie die Infektionsrate oder die Heilungsrate. Sie geben an, wie ansteckend eine Krankheit ist bzw. wie schnell eine Person nach einer Erkrankung wieder gesund wird. Im Allgemeinen sind diese Parameter abhängig von bestimmten Bevölkerungsgruppen und verändern sich mit der Zeit. Daher werden am Ende des zweiten Kapitels Modelle entwickelt, die die Betrachtung mehrerer Bevölkerungsgruppen zulassen. Zeitvariante Parameter werden durch die Verwendung geschalteter Systeme berücksichtigt. Bei der Untersuchung solcher Systeme ist derjenige Zustand von besonderem Interesse, bei dem innerhalb der Bevölkerung keine Infizierten auftreten, die gesamte Bevölkerung also von der betrachteten Krankheit frei bleibt. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen sich dieser Zustand nach einer Infizierung der Bevölkerung im Laufe der Zeit von selbst einstellt. Mathematisch gesehen untersucht man die triviale Ruhelage des Systems, bei der keine Infizierten existieren, auf Stabilität. Für die Stabilitätsanalyse sind einige mathematische Begriffe und Aussagen notwendig, die im zweiten Kapitel bereitgestellt werden. Grundlegend ist die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, einschließlich der Stabilitätstheorie von Lyapunov. Darüberhinaus kommen wichtige Erkenntnisse aus den Gebieten Konvexe und Nichtglatte Analysis, Positive Systeme und Differentialinklusionen. Ausgestattet mit diesen Hilfsmitteln werden im vierten Kapitel Sätze bewiesen, die hinreichende Bedingungen dafür angegeben, dass die triviale Ruhelage in geschalteten SIS, SIR und SIRS Systemen asymptotisch stabil ist. KW - epidemiology KW - switched systems KW - ordinary differential equations KW - stability analysis KW - Epidemiologie KW - Geschaltete Systeme KW - Gewöhnliche Differentialgleichungen KW - Stabilitätsanalyse KW - Gewöhnliche Differentialgleichung KW - Stabilität KW - Epidemiologie Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-108573 ER - TY - THES A1 - Sailer, Rudolf T1 - Stability and Stabilization of Large-Scale Digital Networks T1 - Stabilität und Stabilisierung großskaliger digitaler Netze N2 - Several aspects of the control of large-scale systems communicating over digital channels are considered. In particular, the issue of delay, quantization, and packet loss is addressed with the help of dynamic quantization. New small-gain results suitable for networked control systems are introduced and it is shown that many of the known small-gain conditions are equivalent. The issue of bandwidth limitations is addressed with the help of event-triggered control. A novel approach termed parsimonious triggering is introduced, which helps to rule out the occurrence of an infinite number of triggering events within finite time. Moreover, the feasibility of the presented approaches is demonstrated by numerical examples. N2 - Es werden großskalige Netzwerke betrachtet, bei denen die Zustandsrückführung über digitale Kommunikationskanäle erfolgt. Typische Effekte digitaler Kommunikation wie Totzeiten, Quantisierung und Paketverlust werden mithilfe der sogenannten dynamischen Quantisierung bearbeitet. Im Kontext der Netzwerkkontrollsysteme werden neue small-gain Ergebnisse eingeführt, die auf den Bedarf der digitalen Kommunikation eingehen. Des Weiteren wird gezeigt, dass viele der aus der Literatur bekannten small-gain Ergebnisse äquivalent sind. Eventbasierte Kontrollstrategien werden vorgestellt, um das Problem der Bandbreitenbeschränkung zu umgehen. Ein neuer Ansatz, parsimonious triggering genannt, wird vorgestellt, um das Problem des unendlich oft Schaltens in endlicher Zeit zu umgehen. Abschließend wird anhand von numerischen Beispielen die Anwendbarkeit der vorgestellten Methoden demonstriert. KW - networked control systems KW - ISS KW - small-gain KW - nonlinear control KW - Rechnernetz KW - Kommunikationssystem KW - Stabilisierung KW - digitale Netze Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-101509 ER -