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Generalized Satisfiability Problems

Verallgemeinerte Erfüllbarkeitsprobleme

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-74
  • In the last 40 years, complexity theory has grown to a rich and powerful field in theoretical computer science. The main task of complexity theory is the classification of problems with respect to their consumption of resources (e.g., running time or required memory). To study the computational complexity (i.e., consumption of resources) of problems, similar problems are grouped into so called complexity classes. During the systematic study of numerous problems of practical relevance, no efficient algorithm for a great number of studiedIn the last 40 years, complexity theory has grown to a rich and powerful field in theoretical computer science. The main task of complexity theory is the classification of problems with respect to their consumption of resources (e.g., running time or required memory). To study the computational complexity (i.e., consumption of resources) of problems, similar problems are grouped into so called complexity classes. During the systematic study of numerous problems of practical relevance, no efficient algorithm for a great number of studied problems was found. Moreover, it was unclear whether such algorithms exist. A major breakthrough in this situation was the introduction of the complexity classes P and NP and the identification of hardest problems in NP. These hardest problems of NP are nowadays known as NP-complete problems. One prominent example of an NP-complete problem is the satisfiability problem of propositional formulas (SAT). Here we get a propositional formula as an input and it must be decided whether an assignment for the propositional variables exists, such that this assignment satisfies the given formula. The intensive study of NP led to numerous related classes, e.g., the classes of the polynomial-time hierarchy PH, P, #P, PP, NL, L and #L. During the study of these classes, problems related to propositional formulas were often identified to be complete problems for these classes. Hence some questions arise: Why is SAT so hard to solve? Are there modifications of SAT which are complete for other well-known complexity classes? In the context of these questions a result by E. Post is extremely useful. He identified and characterized all classes of Boolean functions being closed under superposition. It is possible to study problems which are connected to generalized propositional logic by using this result, which was done in this thesis. Hence, many different problems connected to propositional logic were studied and classified with respect to their computational complexity, clearing the borderline between easy and hard problems.show moreshow less
  • In den letzten 40 Jahren hat sich die Komplexitätstheorie zu einem reichen und mächtigen Gebiet innerhalb der theoretischen Informatik entwickelt. Dabei ist die hauptsächliche Aufgabenstellung der Komplexitätstheorie die Klassifikation von Problemen bezüglich des Bedarfs von Rechenzeit oder Speicherplatz zu ihrer Lösung. Um die Komplexität von Problemen (d.h. den Bedarf von Resourcen) einzuordnen, werden Probleme mit ähnlichem Ressourcenbedarf in gleiche sogenannte Komplexitätsklassen einsortiert. Bei der systematischen Untersuchung einerIn den letzten 40 Jahren hat sich die Komplexitätstheorie zu einem reichen und mächtigen Gebiet innerhalb der theoretischen Informatik entwickelt. Dabei ist die hauptsächliche Aufgabenstellung der Komplexitätstheorie die Klassifikation von Problemen bezüglich des Bedarfs von Rechenzeit oder Speicherplatz zu ihrer Lösung. Um die Komplexität von Problemen (d.h. den Bedarf von Resourcen) einzuordnen, werden Probleme mit ähnlichem Ressourcenbedarf in gleiche sogenannte Komplexitätsklassen einsortiert. Bei der systematischen Untersuchung einer Vielzahl von praktisch relevanten Problemen wurden jedoch keine effizienten Algorithmen für viele der untersuchten Probleme gefunden und es ist unklar, ob solche Algorithmen überhaupt existieren. Ein Durchbruch bei der Untersuchung dieser Problematik war die Einführung der Komplexitätsklassen P und NP und die Identifizierung von schwersten Problemen in NP. Diese schwierigsten Probleme von NP sind heute als sogenannte NP-vollständige Probleme bekannt. Ein prominentes Beispiel für ein NP-vollständiges Problem ist das Erfüllbarkeitsproblem für aussagenlogische Formeln (SAT). Hier ist eine aussagenlogische Formel als Eingabe gegeben und es muss bestimmt werden, ob eine Belegung der Wahrheitswertevariablen existiert, so dass diese Belegung die gegebene Formel erfüllt. Das intensive Studium der Klasse NP führte zu einer Vielzahl von anderen Komplexitätsklassen, wie z.B. die der Polynomialzeithierarchie PH, P, #P, PP, NL, L oder #L. Beim Studium dieser Klassen wurden sehr oft Probleme im Zusammenhang mit aussagenlogischen Formeln als schwierigste (vollständige) Probleme für diese Klassen identifiziert. Deshalb stellt sich folgende Frage: Welche Eigenschaften des Erfüllbarkeitsproblems SAT bewirken, dass es eines der schwersten Probleme der Klasse NP ist? Gibt es Einschränkungen oder Verallgemeinerungen des Erfüllbarkeitsproblems, die vollständig für andere bekannte Komplexitätsklassen sind? Im Zusammenhang mit solchen Fragestellungen ist ein Ergebnis von E. Post von extremem Nutzen. Er identifizierte und charakterisierte alle Klassen von Booleschen Funktionen, die unter Superposition abgeschlossen sind. Mit Hilfe dieses Resultats ist es möglich, Probleme im Zusammenhang mit verallgemeinerten Aussagenlogiken zu studieren, was in der vorliegenden Arbeit durchgeführt wurde. Dabei wurde eine Vielzahl von verschiedenen Problemen, die in Zusammenhang mit der Aussagenlogik stehen, studiert und bezüglich ihrer Komplexität klassifiziert. Dadurch wird die Grenzlinie zwischen einfach lösbaren Problemen und schweren Problemen sichtbar.show moreshow less

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Metadaten
Author: Steffen Reith
URN:urn:nbn:de:bvb:20-opus-74
Document Type:Doctoral Thesis
Granting Institution:Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik
Faculties:Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Informatik
Date of final exam:2001/07/16
Language:English
Year of Completion:2001
Dewey Decimal Classification:0 Informatik, Informationswissenschaft, allgemeine Werke / 00 Informatik, Wissen, Systeme / 004 Datenverarbeitung; Informatik
GND Keyword:Erfüllbarkeitsproblem
Tag:Boolesche Funktionen; Isomorphie; Komplexitätstheorie; Zählprobleme; abgeschlossene Klassen
Boolean equivalence; Boolean functions; Boolean isomorphism; Computational complexity; Dichotomy; counting problems
Release Date:2002/07/01
Advisor:Prof. Dr. Klaus W. Wagner