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Charakteristisch für die Lösbarkeit von elliptischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit Nebenbedingungen ist das Auftreten einer inf-sup-Bedingung. Im prototypischen Fall der Stokes-Gleichungen ist diese auch als Ladyzhenskaya-Bedingung bekannt. Die Gültigkeit dieser Bedingung, bzw. die Existenz der zugehörigen Konstante ist eine Eigenschaft des Gebietes, innerhalb dessen die Differentialgleichung gelöst werden soll. Während die Existenz schon die Lösbarkeit garantiert, ist beispielsweise für Fehleraussagen bei der numerischen Approximation auch die Größe der Konstanten sehr wichtig. Insbesondere auch deshalb, weil eine ähnliche inf-sup-Bedingung auch bei der Diskretisierung mittel Finiter-Elemente-Methoden auftaucht, die hier Babuska-Brezzi-Bedingung heißt. Die Arbeit befaßt sich auf der einen Seite mit einer analytischen Abschätzung der Ladyzhenskaya-Konstante für verschiedene Gebiete, wobei Äquivalenzen mit verwandten Problemen aus der komplexen Analysis (Friedrichs-Ungleichung) und der Strukturmechanik (Kornsche Ungleichung) benutzt werden. Ein weiterer Teil befaßt sich mit dem Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Ladyzhenskaya- Konstante und diskreter Babuska-Brezzi-Konstante. Die dabei gefundenen Ergebnisse werden mit Hilfe eines dazu entwickelten leistungsfähigen Finite-Elemente-Programmsystems numerisch verifiziert. Damit können erstmals genaue Abschätzungen der Konstanten in zwei und drei Dimensionen gefunden werden. Aufbauend auf diesen Resultaten wird ein schneller Lösungsalgorithmus für die Stokes-Gleichungen vorgeschlagen und anhand von problematischen Gebieten dessen Überlegenheit gegenüber klassischen Verfahren wie beispielsweise der Uzawa-Iteration demonstriert. Während selbst bei einfachen Geometrien eine Konvergenzbeschleunigung um einen Faktor 5 erwartet werden kann, sind in kritischen Fällen Faktoren bis zu 1000 möglich.
Orogene Prozesse in kontinentalen Kollisionszonen werden in zwei- und dreidimensionalen numerischen Modellen auf Basis der Finite-Elemente Methode (FEM) untersucht. Dabei stehen die Verteilung der Deformation innerhalb der Modellkruste, die korrespondierenden Spannungsfelder und die aus Temperaturfelddaten und Partikelpfaden abgeleitete metamorphe Entwicklung von Krustengesteinen im Vordergrund. Die Studie gliedert sich in einen methodischen Teil, umfangreiche Parameterstudien und spezielle Anwendungen auf fossile und rezente Orogene. Kontinentale Kollisionszonen sind - insbesondere in den tieferen Krustenstockwerken – durch hohe Beträge penetrativer Deformation gekennzeichnet. Im methodischen Teil der Arbeit wird eine Technik vorgestellt, mit deren Hilfe Verformungen des beobachteten Umfangs mit dem auf rein LAGRANGEscher Formulierung basierenden kommerziellen FE-Programmpaket ANSYS® modelliert werden können. Die speziell für Fragestellungen orogener Krustendynamik entwickelten Programmpakete OROTRACK bzw. OROTRACK3D umfassen Neuvernetzungs- und Ergebnisverwaltungsalgorithmen, die eine Modellierung von Konvergenzbeträgen bis zu mehreren hundert Kilometern erlauben. Zusätzlich können mittels einer Schnittstelle zu Oberflächenmodellen die Folgen exogener Prozesse auf die orogene Dynamik berücksichtigt werden. Weitere Charakteristika der Modellierungstechnik sind eine vollständige thermomechanische Kopplung, die Anwendung differenzierter Materialeigenschaften für verschiedene Krustenstockwerke sowie die Möglichkeit, die Deformation - den lokal herrschenden Druck- und Temperaturbedingungen entsprechend - entweder durch spröde oder duktile Materialgesetze zu approximieren. Die zur Beschreibung eines Kollisionsszenarios aufgebrachten Randbedingungen basieren auf den Grundlagen eines Mantelsubduktionsmodells (Willett et al. 1993). In 2D-Modellen wird ebene Verformung in einem Schnitt durch die kontinentale Kruste zweier kollidierender Platten modelliert, die basal einer vom lithosphärischen Mantel aufgeprägten Verschiebung unterliegen. Wird der lithosphärische Mantel der linken Platte an einem Punkt S unter die rechte Platte subduziert, ergibt sich für den linken Modellteil eine horizontale Verschiebung der Modellbasis nach rechts, während im rechten Modellteil keine Verschiebung der Modellbasis erlaubt ist. Im Bereich des Punktes S kommt es zu einer Diskontinuität der basalen Geschwindigkeit und somit zu maximaler Deformation. In publizierten Kollisionsmodellen, die auf ähnlichen Ansätzen beruhen, wird häufig rein sprödes Materialverhalten angenommen oder der duktile Anteil der Kruste durch geringe Krustentemperaturen klein und hochviskos gehalten. Unter diesen Bedingungen kann eng auf das Orogenzentrum lokalisierte Deformation mit einem typischerweise bivergenten Strukturmuster abgebildet werden (Willett et al. 1993 u.a.). Demgegenüber beweist eine erste Reihe zweidimensionaler Parameterstudien eine starke Abhängigkeit des beobachteten Deformationsmusters von den herrschenden Krustentemperaturen und der Konvergenzrate. Bei höheren Krustentemperaturen bildet sich demnach ein Entkopplungshorizont an der Krustenbasis, der für die oberen Krustenstockwerke eine verbreiterte und diffuse Deformationszone bedingt und die erzielte Krustenverdickung limitiert. Über die Verformungsratenabhängigkeit des duktilen Materialverhaltens und den unterschiedlichen Grad thermischer Reequilibrierung innerhalb der verdickten Kruste haben Variationen der Konvergenzrate ähnliche Auswirkungen auf das orogene Deformationsmuster. Verbesserte Modelle mit Neuvernetzungstechnik werden in Parameterstudien getestet, die den Einfluss unterschiedlicher Temperatur-Viskositätsfunktionen auf die Lokalisierung der Deformation und die resultierende synkonvergente Exhumierung metamorpher Gesteine quantifizieren. Ein rheologisches Verhalten, das eine effiziente mechanische Kopplung innerhalb des Krustenprofils gewährleistet, ist demzufolge nicht nur Voraussetzung für lokalisierte Krustenverdickung, sondern auch für rasche Exhumierung von Unterkrustengesteinen durch ein Zusammenspiel von Erosion und isostatischer Hebung. Die Modelle zeigen weiter, dass maximale Exhumierungsbeträge bei rheologisch vergleichsweise festem Verhalten der Unterkruste erzielt werden. Im Einzelnen kann die Variabilität der Versenkungs- und Exhumierungsgeschichte von Materialpunkten im Modellschnitt aus synthetischen PT-Pfaden ersehen werden. Der Wirkungskomplex um Krustentemperaturen, orogene Deformationslokalisierung und synkonvergente Exhumierung ist für die Kollisionsphase der variscischen Orogenese in Mitteleuropa von besonderer Bedeutung. Hochtemperaturmetamorphose und weitverbreitete granitoide Intrusionstätigkeit sind hier Ausdruck hoher Krustentemperaturen; dennoch sind an den Grenzen der klassischen tektonometamorphen Einheiten - im Bereich von Schwarzwald und Vogesen sowie der Mitteldeutschen Kristallinschwelle (MDKS) - eng lokalisierte Teilorogene mit bivergentem Strukturmuster sowie eine rasche synkonvergente Exhumierung amphibolitfazieller Gesteine dokumentiert. Ein solches Nebeneinander ist aus Sicht der Parameterstudien nur durch eine vergleichsweise hochviskose Unterkrustenrheologie zu erklären. In einer Fallstudie zur MDKS kommen in neueren experimentellen Arbeiten bestimmte Kriechparameter (Mackwell et al. 1998) zur Anwendung, mit denen ein derartiges Materialverhalten simuliert werden kann. Der in den reflexionsseismischen Profilen DEKORP 2N und 2S dokumentierte großmaßstäbliche Strukturbau im Bereich des rhenohercynischen Falten- und Überschiebungsgürtels, der MDKS und des saxothuringischen Beckens, sowie die an heute exhumierten Gesteine bestimmten metamorphen Maximalbedingungen können auf dieser Grundlage numerisch reproduziert werden. Eine Erweiterung der Modellierungstechnik auf dreidimensionale FE-Modelle dient der Berücksichtigung orogenparalleler Deformation, die im Randbereich von Kollisionszonen in effektivem Materialtransport resultieren kann; diese Prozesse sind u.a. als „tectonic escape“ (Burke & Sengör 1986) oder „lateral extrusion“ (Ratschbacher et al. 1991b) beschrieben worden. Unter der Annahme orthogonaler Konvergenz wird im 3D-Modell der Mantelsubduktionsansatz der 2D-Modelle zunächst in orogenparalleler Richtung extrudiert (Randbereich des Kollisionsorogens). Im angrenzenden, hinteren Teil des Modells (laterales Vorland des Kollisionsorogens) ist die Modellbasis dagegen keiner Verschiebung oder Fixierung unterworfen. Die Modellränder unterliegen hier einer sogenannten „no-tilt“-Bedingung, die eine differentielle Horizontalverschiebung initial übereinanderliegender Knoten verbietet. In einer Reihe von Parameterstudien werden das kinematische Muster, die räumliche Verteilung der Deformation und die zeitlichen Variationen des oberflächlichen Spannungsfelds untersucht, die sich bei modifizierten Randbedingungen ergeben. Laterale Extrusion ist demnach im Randbereich von Kollisionsorogenen trotz unterschiedlichster Modellszenarien stets präsent. Da die Lateralbewegungen zeitgleich mit der Kollision einsetzen und im Laufe der weiteren konvergenten Krustenverkürzung nur wenig beschleunigt werden, ist der von horizontalen Kräften ausgelöste „tectonic escape“ der dominierende Prozess, während gravitativ induzierte Bewegungen nur eine sekundäre Rolle spielen. Rigide Modellränder in Teilen des lateralen Vorlands modifizieren sowohl Umfang als auch Verteilung der Horizontalbewegungen, ihre Auswirkungen auf das Orogen selbst sind dagegen vergleichsweise gering. Variationen der Krustentemperaturen, der Konvergenzrate und der Unterkrustenrheologie beeinflussen dagegen sowohl die orogene Deformation als auch die des lateralen Vorlands. Unter der Annahme einer festen, isotropen Kopplung zwischen der Krustenbasis und dem bewegten lithosphärischen Mantel werden Extrusionsraten simuliert, die 30% der Konvergenzrate nicht überschreiten. Bis zu 70% können dagegen erreicht werden, wenn eine orogenparallele Beweglichkeit der Modellbasis gestattet wird. Die überragende Bedeutung dieser basalen Randbedingung erlaubt eine Interpretation des miozänen lateralen Extrusionsereignisses in den Ostalpen (z.B. Ratschbacher et al. 1991a). Wenn im Bereich der heutigen Ostalpen zu Beginn der lateralen Extrusion noch kein orogene Topographie bestand (Frisch et al. 1998), fand laterale Extrusion zeitgleich mit bedeutender Krustenverdickung statt; dies spricht für eine Dominanz des von horizontalen Kräften induzierten Prozesses „tectonic escape“ über gravitatives Kollabieren. In jedem Fall legt das in etwa ausgeglichene Verhältnis zwischen Plattenkonvergenz und lateraler Extrusion die Existenz eines basalen Entkopplungshorizonts nahe. Andere Faktoren, die zur Erklärung des Extrusionsereignisses herangezogen werden, z.B. die Indentation der Südalpen oder ein extensives Regime im Bereich des Pannonischen Beckens, können das Deformationsmuster beeinflusst haben, die beobachteten Verschiebungsbeträge sind damit jedoch aus Sicht der Modellstudien nicht plausibel zu machen. Aufgrund ihres großen Maßstabs lassen sich die Verhältnisse bei der Kollision Indiens mit der Eurasischen Platte bislang nur phänomenologisch mit den Modellergebnissen vergleichen. Eine skalierte Fallstudie bleibt somit eine Herausforderung für zukünftige FE-Modelle.
In the present study numerical methods are employed within the framework of multiscale modeling. Quantum mechanics and finite element method simulations have been used in order to calculate thermoelastic properties of ceramics. At the atomic scale, elastic constants of ten different ceramics (Al2O3, alpha- and beta-SiC, TiO2-rutile and anatase, AlN, BN, CaF2, TiB2, ZrO2) were calculated from the first principles (ab-initio) using the density functional theory with the general gradient approximation. The simulated elastic moduli were compared with measured values. These results have shown that the ab-initio computations can be used independently from experiment to predict elastic behavior and can provide a basis for the modeling of structural and elastic properties of more complex composite ceramics. In order to simulate macroscopic material properties of composite ceramics from the material properties of the constituting phases, 3D finite element models were used. The influence of microstructural features such as pores and grain boundaries on the effective thermoelastic properties is studied through a diversity of geometries like truncated spheres in cubic and random arrangement, modified Voronoi polyhedra, etc. A 3D model is used for modeling the microstructure of the ceramic samples. The measured parameters, like volume fractions of the two phases, grain size ratios and grain boundary areas are calculated for each structure. The theoretical model is then varied to fit the geometrical data derived from experimental samples. The model considerations are illustrated on two types of bi-continuous materials, a porous ceramic, alumina (Al2O3) and a dense ceramic, zirconia-alumina composite (ZA). For the present study, alumina samples partially sintered at temperatures between 800 and 1320 C, with fractional densities between 58.4% and 97% have been used. For ZA ceramic the zirconia powder was partially stabilized and the ratio between alumina and zirconia was varied. For these two examples of ceramics, Young’s modulus and thermal conductivity were calculated and compared to experimental data of samples of the respective microstructure. Comparing the experimental and simulated values of Young’s modulus for Al2O3 ceramic a good agreement was obtained. For the thermal conductivity the consideration of thermal boundary resistance (TBR) was necessary. It was shown that for different values of TBR the experimental data lie within the simulated thermal conductivities. In the case of ZA ceramic also a good agreement between simulated and experimental values was observed. For smaller ZrO2 fractions, a larger Young’s modulus and thermal conductivity was observed in the experimental samples. The discrepancies have been discussed by taking into account the effect of pressure. Considering the dependence of the thermoelastic properties on the pressure, it has been shown that the thermal stresses resulting from the cooling process were insufficient to explain the discrepancies between experimental and simulated thermoelastic properties.
Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete.
Die Mikrostruktur von Zirkonoxid–Aluminiumoxid Keramiken wurde im Rasterelektronenmikroskop (REM) untersucht und mittels quantitativer Bildanalyse weiter charakterisiert. Die so erhaltenen spezifischen morphologischen Kennwerte wurden mit denen, die an dreidimensionalen Modellstrukturen äquivalent gewonnen wurden, verglichen. Es wurden modifizierte Voronoistrukturen benutzt, um die beteiligten Phasen in repräsentativen Volumenelementen (RVE) auf Voxelbasis zu erzeugen. Poren wurden an den Ecken und Kanten dieser Strukturen nachträglich hinzugefüg.
Nachdem alle relevanten Kennwerte der Modellstrukturen an die realen keramischen Mikrostrukturen angepasst wurden, musste das RVE für die Finite Element Simulationen (FES) geeignet vernetzt werden. Eine einfache Übernahme der Voxelstrukturen in hexaedrische Elemente führt zu sehr langen Rechenzeiten, und die erforderliche Genauigkeit der FES konnte nicht erreicht werden. Deshalb wurde zunächst eine adaptive Oberflächenvernetzung ausgehend von einem generally classed marching tetrahedra Algorithmus erzeugt. Dabei wurde besonderer Wert auf die Beibehaltung der zuvor angepassten Kennwerte gelegt. Um die Rechenzeiten zu verkürzen ohne die Genauigkeit der FES zu beeinträchtigen, wurden die Oberflächenvernetzungen dergestalt vereinfacht, dass eine hohe Auflösung an den Ecken und Kanten der Strukturen erhalten blieb, während sie an flachen Korngrenzen stark verringert wurde. Auf Basis dieser Oberflächenvernetzung wurden Volumenvernetzungen, inklusive der Abbildung der Korngrenzen durch Volumenelemente, erzeugt und für die FES benutzt. Dazu wurde ein FE-Modell zur Simulation der Impedanzspektren aufgestellt und validiert.
Um das makroskopische elektrische Verhalten der polykristallinen Keramiken zu simulieren, mussten zunächst die elektrischen Eigenschaften der beteiligten Einzelphasen gemessen werden. Dazu wurde eine Anlage zur Impedanzspektroskopie bis 1000 °C aufgebaut und verwendet. Durch weitere Auswertung der experimentellen Daten unter besonderer Berücksichtigung der Korngrenzeffekte wurden die individuellen Phaseneigenschaften erhalten.
Die Zusammensetzung der Mischkeramiken reichte von purem Zirkonoxid (3YSZ) bis zu purem Aluminiumoxid. Es wurde eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den experimentellen und simulierten Werten bezüglich der betrachteten elektrischen, mechanischen und thermischen Eigenschaften erreicht. Die FES wurden verwendet, um die Einflüsse verschiedener mikrostruktureller Parameter, wie Porosität, Korngröße und Komposition, auf das makroskopische Materialverhalten näher zu untersuchen.
This thesis deals with the hp-finite element method (FEM) for linear quadratic optimal control problems. Here, a tracking type functional with control costs as regularization shall be minimized subject to an elliptic partial differential equation. In the presence of control constraints, the first order necessary conditions, which are typically used to find optimal solutions numerically, can be formulated as a semi-smooth projection formula. Consequently, optimal solutions may be non-smooth as well. The hp-discretization technique considers this fact and approximates rough functions on fine meshes while using higher order finite elements on domains where the solution is smooth.
The first main achievement of this thesis is the successful application of hp-FEM to two related problem classes: Neumann boundary and interface control problems. They are solved with an a-priori refinement strategy called boundary concentrated (bc) FEM and interface concentrated (ic) FEM, respectively. These strategies generate grids that are heavily refined towards the boundary or interface. We construct an elementwise interpolant that allows to prove algebraic decay of the approximation error for both techniques. Additionally, a detailed analysis of global and local regularity of solutions, which is critical for the speed of convergence, is included. Since the bc- and ic-FEM retain small polynomial degrees for elements touching the boundary and interface, respectively, we are able to deduce novel error estimates in the L2- and L∞-norm. The latter allows an a-priori strategy for updating the regularization parameter in the objective functional to solve bang-bang problems.
Furthermore, we apply the traditional idea of the hp-FEM, i.e., grading the mesh geometrically towards vertices of the domain, for solving optimal control problems (vc-FEM). In doing so, we obtain exponential convergence with respect to the number of unknowns. This is proved with a regularity result in countably normed spaces for the variables of the coupled optimality system.
The second main achievement of this thesis is the development of a fully adaptive hp-interior point method that can solve problems with distributed or Neumann control. The underlying barrier problem yields a non-linear optimality system, which poses a numerical challenge: the numerically stable evaluation of integrals over possibly singular functions in higher order elements. We successfully overcome this difficulty by monitoring the control variable at the integration points and enforcing feasibility in an additional smoothing step. In this work, we prove convergence of an interior point method with smoothing step and derive a-posteriori error estimators. The adaptive mesh refinement is based on the expansion of the solution in a Legendre series. The decay of the coefficients serves as an indicator for smoothness that guides between h- and p-refinement.
Die experimentelle Verbesserung der makroskopischen Eigenschaften (z. B. thermische oder mechanische Eigenschaften) von Keramiken ist aufgrund der zahlreichen erforderlichen Experimente zeitaufwändig und kostenintensiv. Simulationen hingegen können die Korrelation von Mikrostruktur und makroskopischen Eigenschaften nutzen, um die Eigenschaften von beliebigen Gefügekompositionen zu berechnen. In bisherigen Simulationen wurden meist stark vereinfachte Modelle herangezogen, welche die Mikrostruktur einer Keramik nur sehr grob widerspiegeln und deshalb keine zuverlässigen Ergebnisse liefern.
In der vorliegenden Arbeit wird die Mikrostruktur-Eigenschafts-Korrelation der drei wichtigsten Nicht-Oxid-Keramiken untersucht. Dies sind Aluminiumnitrid (AlN), Siliciumnitrid (Si3N4) und Siliciumcarbid (SiC). Diese drei Keramiktypen vertreten die häufigsten Mikrostrukturtypen, welche bei Nicht-Oxid-Keramiken auftreten können. Zu jedem Keramiktyp liegen zwei verschiedene Proben vor.
Alle drei untersuchten Keramiktypen sind zweiphasig. Die Hauptphase von AlN und Si3N4 besteht aus keramischen Körnern, die Nebenphase erstarrt während der Sinterung aus den zugesetzten Sinteradditiven. Die Restporosität von AlN und Si3N4 wird als vernachlässigbar angesehen und in den Simulationen nicht berücksichtigt. Bei den SiC-Proben handelt es sich um Keramiken mit bimodaler Korngröÿenverteilung. Durch Infiltration mit flüssigem Silicium wurden die Hohlräume zwischen den Körnern aufgefüllt, um porenfreie SiSiC-Proben zu erhalten.
Anhand von Simulationen werden zunächst reale Mikrostrukturen in Anlehnung an vorliegende Vergleichsproben nachgebildet. Diese Modelle werden durch Abgleich mit rasterelektronenmikroskopischen 2D-Aufnahmen der Proben verifiziert. An den Modellen werden mit der Methode der Finite-Element-Simulation makroskopische Eigenschaften (Wärmeleitfähigkeit, Elastizitätsmodul und Poisson-Zahl) der Keramiken simuliert und mit experimentellen Messungen an den vorliegenden Proben abgeglichen.
Der Vergleich der Mikrostruktur von den computergenerierten Gefügen und den vorliegenden Proben zeigt in der Mustererkennung durch das menschliche Auge und quantitativ in den Gefügeparametern eine gute Übereinstimmung. Für die makroskopischen Eigenschaften wird auf der Basis einer ausführlichen Literaturrecherche zu den Materialparametern der beteiligten Phasen eine gute Übereinstimmung zwischen den experimentell gemessenen und den simulierten Eigenschaften erreicht. Evtl. auftretende Abweichungen zwischen Experiment und Simulation können damit erklärt werden, dass die Proben Verunreinigungen enthalten, da aus der Literatur bekannt ist, dass Verunreinigungen eine Verschlechterung der Wärmeleitfähigkeit bewirken.
Nachdem die Gültigkeit der Modelle verifiziert ist, wird der Einfluss von charakteristischen
Mikrostrukturparametern und Phaseneigenschaften auf die Wärmeleitfähigkeit, den Elastizitätsmodul und die Poisson-Zahl der Keramiken untersucht. Hierzu werden die Mikrostrukturparameter von AlN und Si3N4 gezielt um die Parameter der vorliegenden Vergleichsproben variiert. Bei beiden Keramiktypen werden die Volumenanteile der beteiligten Phasen sowie die mittlere Sehnenlänge der keramischen Körner verändert. Bei den AlN-Keramiken wird zusätzlich der Dihedralwinkel variiert, welcher Auskunft über den Benetzungsgrad der Flüssigphase gibt; bei den Si3N4-Keramiken ist das Achsenverhältnis der langgezogenen Si3N4-Körner von Interesse und wird deshalb ebenfalls variiert. Es zeigt sich, dass die Aufteilung der Teilvolumina zwischen den zwei Phasen den größten Einfluss auf die Eigenschaften der Keramik hat, während die übrigen Mikrostrukturparameter nur eine untergeordnete Rolle spielen.
Um die Qualität der Simulationen zu überprüfen, wird die Simulationsreihe an AlN mit unterschiedlicher Aufteilung der Volumina zwischen den beiden Phasen in Relation zu etablierten Modellen aus der Literatur (Mischungsregel und Modell nach Ondracek) gesetzt. Alle Simulationsergebnisse für die Wärmeleitfähigkeit und den Elastizitätsmodul liegen innerhalb der jeweils oberen und unteren Grenze beider Modelle. Es konnte also eine Verbesserung gegenüber den etablierten Modellen erzielt werden.
An allen drei Keramiktypen wird der Einfluss der Materialeigenschaften der Haupt- und Nebenphase auf die makroskopischen Eigenschaften der Keramik untersucht. Hierfür werden die Wärmeleitfähigkeit, der Elastizitätsmodul und die Poisson-Zahl der Phasen getrennt voneinander über einen größeren Bereich variiert. Es stellt sich heraus, dass es vom Keramiktyp und dem Volumenanteil der Nebenphase abhängt, wie stark der Einfluss einer Komponenteneigenschaft auf die Eigenschaft der Keramik ist.
Mit den im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Simulationen wird der Einfluss von Mikrostrukturparametern und Phaseneigenschaften berechnet. Auf der Grundlage dieser Simulationen können die Architektur des Gefüges simuliert und die Eigenschaften von Keramiken für individuelle Anwendungen berechnet werden. Dies ist die Basis für die Produktion von maßgeschneiderten Keramiken. Zudem können mit den validierten Mikrostrukturmodellen die Eigenschaften von unbekannten Mischphasen ermittelt werden, was experimentell oft nicht möglich ist.
This thesis is concerned with applying the total variation (TV) regularizer to surfaces and different types of shape optimization problems. The resulting problems are challenging since they suffer from the non-differentiability of the TV-seminorm, but unlike most other priors it favors piecewise constant solutions, which results in piecewise flat geometries for shape optimization problems.The first part of this thesis deals with an analogue of the TV image reconstruction approach [Rudin, Osher, Fatemi (Physica D, 1992)] for images on smooth surfaces. A rigorous analytical framework is developed for this model and its Fenchel predual, which is a quadratic optimization problem with pointwise inequality constraints on the surface. A function space interior point method is proposed to solve it. Afterwards, a discrete variant (DTV) based on a nodal quadrature formula is defined for piecewise polynomial, globally discontinuous and continuous finite element functions on triangulated surface meshes. DTV has favorable properties, which include a convenient dual representation. Next, an analogue of the total variation prior for the normal vector field along the boundary of smooth shapes in 3D is introduced. Its analysis is based on a differential geometric setting in which the unit normal vector is viewed as an element of the two-dimensional sphere manifold. Shape calculus is used to characterize the relevant derivatives and an variant of the split Bregman method for manifold valued functions is proposed. This is followed by an extension of the total variation prior for the normal vector field for piecewise flat surfaces and the previous variant of split Bregman method is adapted. Numerical experiments confirm that the new prior favours polyhedral shapes.
In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme.
The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects under the influence of both deterministic and stochastic forces.
The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets.
Two different types of optimal control problems are analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state.
On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems.
In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form, possibly observed by measurements.
In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure.
Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems.
In the first chapter of the thesis, a proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced, and the corresponding formulation within a deterministic FP control framework is established.
For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces.
The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions.
Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis.
Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls.
The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed.
For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or piecewise quadratic continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified.