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We study reachability matrices R(A, b) = [b,Ab, . . . ,An−1b], where A is an n × n matrix over a field K and b is in Kn. We characterize those matrices that are reachability matrices for some pair (A, b). In the case of a cyclic matrix A and an n-vector of indeterminates x, we derive a factorization of the polynomial det(R(A, x)).
The Factorization Method is a noniterative method to detect the shape and position of conductivity anomalies inside an object. The method was introduced by Kirsch for inverse scattering problems and extended to electrical impedance tomography (EIT) by Brühl and Hanke. Since these pioneering works, substantial progress has been made on the theoretical foundations of the method. The necessary assumptions have been weakened, and the proofs have been considerably simplified. In this work, we aim to summarize this progress and present a state-of-the-art formulation of the Factorization Method for EIT with continuous data. In particular, we formulate the method for general piecewise analytic conductivities and give short and self-contained proofs.
Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen beginnt bereits vor Schuleintritt und wird durch viele Faktoren beeinflusst. In der vorliegenden Arbeit wird primär untersucht, ob die phonologische Bewusstheit als (meta-)sprachliche Kompetenz auch für die frühe mathematische Kompetenzentwicklung bedeutsam ist und ob sich bei Kindern mit und ohne Migrationshintergrund vergleichbare Zusammenhänge finden lassen. Ein weiterer Schwerpunkt bildet die Überprüfung von differenziellen Effekten von ausgewählten, mathematischen Vorschultrainings sowie eines Trainings der phonologischen Bewusstheit auf die mathematischen Kompetenzen unter Berücksichtigung des Migrationshintergrundes. Die statistischen Analysen basieren auf einer Stichprobe von über 370 Kindern, die im Verlauf der Längsschnittstudie zu vier Messzeitpunkten, jeweils am Beginn und Ende des Vorschul- bzw. ersten Schuljahres, untersucht wurden. Durch Berechnung hierarchischer Regressionsanalysen ließ sich global kein zusätzlicher Erklärungsbeitrag der phonologischen Bewusstheit neben den mathematischen Ausgangskompetenzen feststellen. Der Vergleich der beiden Migrationsgruppen ergab keine strukturellen Unterschiede. Die Überprüfung von spezifischen Effekten durch mathematische Vorschulprogramme (Krajewski et al., 2007; Friedrich & de Galgóczy, 2004; Preiß, 2004, 2005) und von unspezifischen Effekten durch ein Training der phonologischen Bewusstheit und der Buchstaben-Laut-Zuordnung (Küspert & Schneider, 2008; Plume & Schneider, 2004) auf die mathematischen Kompetenzen lieferte nur vereinzelt positive Effekte, die jedoch bei Berücksichtigung von individuellen und familiären Kontrollvariablen reduziert wurden. Die Generalisierbarkeit der Ergebnisse ist durch die komplexe Datenstruktur verbunden mit kleinen Stichprobengrößen in den jeweiligen Faktorenstufen limitiert. Insgesamt ermöglicht die vorliegende Arbeit eine differenzierte Betrachtung der mathematischen Kompetenzentwicklung bei Kindern mit und ohne Migrationshintergrund und liefert wichtige Implikationen für Forschung und Praxis.
Prediction intervals are needed in many industrial applications. Frequently in mass production, small subgroups of unknown size with a lifetime behavior differing from the remainder of the population exist. A risk assessment for such a subgroup consists of two steps: i) the estimation of the subgroup size, and ii) the estimation of the lifetime behavior of this subgroup. This thesis covers both steps. An efficient practical method to estimate the size of a subgroup is presented and benchmarked against other methods. A prediction interval procedure which includes prior information in form of a Beta distribution is provided. This scheme is applied to the prediction of binomial and negative binomial counts. The effect of the population size on the prediction of the future number of failures is considered for a Weibull lifetime distribution, whose parameters are estimated from censored field data. Methods to obtain a prediction interval for the future number of failures with unknown sample size are presented. In many applications, failures are reported with a delay. The effects of such a reporting delay on the coverage properties of prediction intervals for the future number of failures are studied. The total failure probability of the two steps can be decomposed as a product probability. One-sided confidence intervals for such a product probability are presented.
Das Wissen über Kognition oder metakognitives Wissen ist seit den 1970er Jahren Gegenstand der entwicklungspsychologischen Forschung. Besonders umfangreich wurde Entwicklung und Bedeutung des metakognitiven Wissens im Kontext der Gedächtnisentwicklung vom Vorschul- bis ins Grundschulalter untersucht. Das metakognitive Wissen im Inhaltsbereich der mathematischen Informationsverarbeitung ist – trotz elaborierter theoretischer Modelle über Struktur und Inhalt – empirisch weitgehend unerschlossen. Die vorliegende Studie wurde durchgeführt, um systematisch zu untersuchen, wie sich das mathematische metakognitive Wissen in der Sekundarstufe entwickelt, welche Faktoren für individuelle Unterschiede in der Entwicklung verantwortlich sind und in welchem Zusammenhang die metakognitive Wissensentwicklung mit der parallel verlaufenden Entwicklung mathematischer Kompetenzen steht. Zur Klärung der Fragestellungen wurden vier Messzeitpunkte einer breiter angelegten Längsschnittuntersuchung ausgewertet. Der dabei beobachtete Zeitraum umfasste die fünfte und sechste Jahrgangsstufe. Die Stichprobe bestand aus 928 Schülern der Schularten Gymnasium, Realschule und Hauptschule. Die Messinstrumente zur Erfassung der Entwicklungsveränderungen im mathematischen metakognitiven Wissen und der Mathematikleistung wurden auf Grundlage der item response theory konstruiert und mittels vertikalem linking fortlaufend an den Entwicklungsstand der Stichprobe angepasst. Zusätzlich wurden kognitive (Intelligenz und Arbeitsgedächtniskapazität), motivationale (mathematisches Interesse und Selbstkonzept) und sozioökonomische Merkmale (sozioökonomischer Status der Herkunftsfamilie) der Schüler erhoben. Die Lesekompetenz wurde als Methodenfaktor kontrolliert. Entwicklungsunterschiede und -veränderungen im metakognitiven Wissen wurde mit Hilfe von latenten Wachstumskurvenmodellen untersucht. Im beobachteten Zeitraum zeigte sich eine stetige Zunahme des metakognitiven Wissens. Allerdings verlief die Entwicklungsveränderung nicht linear, sondern verlangsamte sich im Verlauf der sechsten Jahrgangsstufe. Individuelle Unterschiede in Ausprägung und Veränderung des metakognitiven Wissens wurden durch kognitive und sozioökonomische Schülermerkmale vorhergesagt. Die motivationalen Merkmale wirkten sich demgegenüber nicht auf den Entwicklungsprozess aus. Geschlechtsunterschiede zeigten sich im Entwicklungsverlauf als Schereneffekt zugunsten der Mädchen. Unterschiede zwischen den Schülern der drei Schularten erreichten bereits zum Eintritt in die Sekundarstufe Signifikanz. Zudem gewannen Gymnasiasten und Hauptschüler im Entwicklungsverlauf stärker an metakognitivem Wissen hinzu als Realschüler. Explorative Mischverteilungsanalysen in der Stichprobe ergaben drei latente Entwicklungsklassen mit jeweils charakteristischem Veränderungsverlauf. Die Klassenzuweisung wurde von der besuchten Schulart sowie kognitiven und sozioökonomischen Schülermerkmalen vorhergesagt. Die Entwicklungsprozesse im mathematischen metakognitiven Wissen und der mathematischen Leistung standen in einem substanziellen, wechselseitigen Zusammenhang. Geschlechts- und Schulartunterschiede blieben ebenso wie die korrelativen Zusammenhänge zwischen den Entwicklungsprozessen auch nach Kontrolle der individuellen Unterschiede in kognitiven, motivationalen und sozioökonomischen Merkmalen erhalten. Die Befunde bestätigen die konstruktivistischen Entwicklungsannahmen der gedächtnispsychologisch geprägten Grundlagenforschung zum metakognitiven Wissen. Zudem wird mit der Untersuchung des mathematischen metakognitiven Wissens in der Sekundarstufe der traditionelle Forschungsfokus inhaltlich erweitert. Das im Rahmen der Studie konstruierte Instrument zur Erfassung des mathematischen metakognitiven Wissens ermöglicht die Untersuchung weiterer, bislang offener Fragen auf dem Gebiet der metakognitiven Entwicklung.
Einleitung: Unter dem Begriff exekutive Funktionen (EF) werden häufig die Komponenten Inhibition, kognitive Flexibilität und Aktualisierung von Arbeitsgedächtnisrepräsentationen subsumiert. EF sind bereichsübergreifende Prädiktoren schulischer Leistungen. Verschiedene Operationalisierungen derselben Komponente, z.B. Performanztests und Elterneinschätzungen, zeigen häufig nur geringe Interkorrelationen. Die Methoden scheinen unterschiedliche Aspekte einer Komponente zu erfassen, daher könnte eine Kombination zur Vorhersage schulischer Leistungen sinnvoll sein. Methode: N = 96 Erst- und Zweitklässler_innen mit und ohne Entwicklungsauffälligkeiten wurden mittels EF-Performanztests und Schulleistungstests zu Mathematik und Lesen untersucht. Per Fragebogen wurden elternbeurteilte EF und als Kontrollvariablen der sozioökonomische Status (SÖS) und das Vorliegen von Merkmalen einer Aufmerksamkeitsdefizit-Hyperaktivitätsstörung (ADHS) erfasst. Ergebnisse: Elternbeurteilungen hatten über die Performanztests hinaus einen bedeutsamen Vorhersagewert für die Mathematik- und Leseleistung. Der Einfluss von Alter, SÖS und ADHS-Merkmalen wurde kontrolliert. Diskussion: Die kombinierte Anwendung beider Erfassungsmethoden scheint somit vorteilhaft für die Prognose schulischer Leistungen und die Prävention von Schulleistungsproblemen.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich explorativ mit Metakognition beim Umgang mit Mathematik. Aufbauend auf der vorgestellten Forschungsliteratur wird der Einsatz von Metakognition im Rahmen einer qualitativen Studie bei Studienanfänger_innen aus verschiedenen Mathematik-(Lehramts-)Studiengängen dokumentiert. Unter Verwendung der Qualitativen Inhaltsanalyse nach Mayring erfolgt die Etablierung eines Kategoriensystems für den Begriff Metakognition im Hinblick auf den Einsatz in der Mathematik, das bisherige Systematisierungen erweitert. Schließlich wird der Einsatz der entsprechenden metakognitiven Aspekte am Beispiel verschiedener Begriffe und Verfahren aus dem Analysis-Unterricht exemplarisch aufgezeigt.
Sonderpädagogische Diagnostik dient als wesentliche Hilfe für Entscheidungen über individuelle Förderung von Kindern. Probleme im Lernprozess sollten möglichst frühzeitig aussagekräftig festgestellt werden, damit adäquate Fördermöglichkeiten angeboten und genutzt werden können. Die Kompetenz von Sonderpädagogen ist dabei für die Auswahl von didaktischen Inhalten des Förderns auf der Basis förderdiagnostischen Vorgehens erforderlich. Dies schlägt sich in der Auswahl geeigneter Diagnostika und Fördermaterialien nieder. Die vorliegende Handreichung stellt eine diagnosegeleitete Förderung mit dem Verfahren “Mathematik- und Rechenkonzepte im Vorschulalter – Diagnose (MARKO-D)“ und dem dazugehörenden Förderprogramm MARKO-T vor.
Statistical Procedures for modelling a random phenomenon heavily depend on the choice of a certain family of probability distributions. Frequently, this choice is governed by a good mathematical feasibility, but disregards that some distribution properties may contradict reality. At most, the choosen distribution may be considered as an approximation. The present thesis starts with a construction of distributions, which uses solely available information and yields distributions having greatest uncertainty in the sense of the maximum entropy principle. One of such distributions is the monotonic distribution, which is solely determined by its support and the mean. Although classical frequentist statistics provides estimation procedures which may incorporate prior information, such procedures are rarely considered. A general frequentist scheme for the construction of shortest confidence intervals for distribution parameters under prior information is presented. In particular, the scheme is used for establishing confidence intervals for the mean of the monotonic distribution and compared to classical procedures. Additionally, an approximative procedure for the upper bound of the support of the monotonic distribution is proposed. A core purpose of auditing sampling is the determination of confidence intervals for the mean of zero-inflated populations. The monotonic distribution is used for modelling such a population and is utilised for the procedure of a confidence interval under prior information for the mean. The results are compared to two-sided intervals of Stringer-type.
Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, anhand von theoretischen Inhalten der Handmotorik bei Schülerinnen und Schülern (SuS) mit einer Cerebralparese, Kriterien abzuleiten, um die Handhabbarkeit von Erstrechenmaterialien feststellen zu können. Weiterhin werden theoretische Grundlagen des Erstrechenunterrichts, bezogen auf die mathematische Entwicklung, erläutert. Diese Inhalte werden verknüpft, indem die Bedeutung der Handmotorik für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen für den Erstrechenunterricht im Kontext empirischer Studien erläutert wird. Die Verbindung der mathematischen Entwicklung mit der Handmotorik bei SuS mit einer Cerebralparese wird in der Folge erläutert.
Es werden geeignete Kriterien erstellt, um ausgewählte Arbeitsmittel des Erstrechenunterrichts der didaktischen Lern- und Forschungsstelle der Universität Würzburg dahingehend zu bewerten, ob sie für SuS mit einer Beeinträchtigung der Handmotorik in Folge einer Cerebralparese handhabbar und somit eigenständig verwendbar sind. Daher richtet sich diese Arbeit speziell an Studierende des Lehramts und (angehende) Lehrkräfte.