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Die experimentelle Verbesserung der makroskopischen Eigenschaften (z. B. thermische oder mechanische Eigenschaften) von Keramiken ist aufgrund der zahlreichen erforderlichen Experimente zeitaufwändig und kostenintensiv. Simulationen hingegen können die Korrelation von Mikrostruktur und makroskopischen Eigenschaften nutzen, um die Eigenschaften von beliebigen Gefügekompositionen zu berechnen. In bisherigen Simulationen wurden meist stark vereinfachte Modelle herangezogen, welche die Mikrostruktur einer Keramik nur sehr grob widerspiegeln und deshalb keine zuverlässigen Ergebnisse liefern.
In der vorliegenden Arbeit wird die Mikrostruktur-Eigenschafts-Korrelation der drei wichtigsten Nicht-Oxid-Keramiken untersucht. Dies sind Aluminiumnitrid (AlN), Siliciumnitrid (Si3N4) und Siliciumcarbid (SiC). Diese drei Keramiktypen vertreten die häufigsten Mikrostrukturtypen, welche bei Nicht-Oxid-Keramiken auftreten können. Zu jedem Keramiktyp liegen zwei verschiedene Proben vor.
Alle drei untersuchten Keramiktypen sind zweiphasig. Die Hauptphase von AlN und Si3N4 besteht aus keramischen Körnern, die Nebenphase erstarrt während der Sinterung aus den zugesetzten Sinteradditiven. Die Restporosität von AlN und Si3N4 wird als vernachlässigbar angesehen und in den Simulationen nicht berücksichtigt. Bei den SiC-Proben handelt es sich um Keramiken mit bimodaler Korngröÿenverteilung. Durch Infiltration mit flüssigem Silicium wurden die Hohlräume zwischen den Körnern aufgefüllt, um porenfreie SiSiC-Proben zu erhalten.
Anhand von Simulationen werden zunächst reale Mikrostrukturen in Anlehnung an vorliegende Vergleichsproben nachgebildet. Diese Modelle werden durch Abgleich mit rasterelektronenmikroskopischen 2D-Aufnahmen der Proben verifiziert. An den Modellen werden mit der Methode der Finite-Element-Simulation makroskopische Eigenschaften (Wärmeleitfähigkeit, Elastizitätsmodul und Poisson-Zahl) der Keramiken simuliert und mit experimentellen Messungen an den vorliegenden Proben abgeglichen.
Der Vergleich der Mikrostruktur von den computergenerierten Gefügen und den vorliegenden Proben zeigt in der Mustererkennung durch das menschliche Auge und quantitativ in den Gefügeparametern eine gute Übereinstimmung. Für die makroskopischen Eigenschaften wird auf der Basis einer ausführlichen Literaturrecherche zu den Materialparametern der beteiligten Phasen eine gute Übereinstimmung zwischen den experimentell gemessenen und den simulierten Eigenschaften erreicht. Evtl. auftretende Abweichungen zwischen Experiment und Simulation können damit erklärt werden, dass die Proben Verunreinigungen enthalten, da aus der Literatur bekannt ist, dass Verunreinigungen eine Verschlechterung der Wärmeleitfähigkeit bewirken.
Nachdem die Gültigkeit der Modelle verifiziert ist, wird der Einfluss von charakteristischen
Mikrostrukturparametern und Phaseneigenschaften auf die Wärmeleitfähigkeit, den Elastizitätsmodul und die Poisson-Zahl der Keramiken untersucht. Hierzu werden die Mikrostrukturparameter von AlN und Si3N4 gezielt um die Parameter der vorliegenden Vergleichsproben variiert. Bei beiden Keramiktypen werden die Volumenanteile der beteiligten Phasen sowie die mittlere Sehnenlänge der keramischen Körner verändert. Bei den AlN-Keramiken wird zusätzlich der Dihedralwinkel variiert, welcher Auskunft über den Benetzungsgrad der Flüssigphase gibt; bei den Si3N4-Keramiken ist das Achsenverhältnis der langgezogenen Si3N4-Körner von Interesse und wird deshalb ebenfalls variiert. Es zeigt sich, dass die Aufteilung der Teilvolumina zwischen den zwei Phasen den größten Einfluss auf die Eigenschaften der Keramik hat, während die übrigen Mikrostrukturparameter nur eine untergeordnete Rolle spielen.
Um die Qualität der Simulationen zu überprüfen, wird die Simulationsreihe an AlN mit unterschiedlicher Aufteilung der Volumina zwischen den beiden Phasen in Relation zu etablierten Modellen aus der Literatur (Mischungsregel und Modell nach Ondracek) gesetzt. Alle Simulationsergebnisse für die Wärmeleitfähigkeit und den Elastizitätsmodul liegen innerhalb der jeweils oberen und unteren Grenze beider Modelle. Es konnte also eine Verbesserung gegenüber den etablierten Modellen erzielt werden.
An allen drei Keramiktypen wird der Einfluss der Materialeigenschaften der Haupt- und Nebenphase auf die makroskopischen Eigenschaften der Keramik untersucht. Hierfür werden die Wärmeleitfähigkeit, der Elastizitätsmodul und die Poisson-Zahl der Phasen getrennt voneinander über einen größeren Bereich variiert. Es stellt sich heraus, dass es vom Keramiktyp und dem Volumenanteil der Nebenphase abhängt, wie stark der Einfluss einer Komponenteneigenschaft auf die Eigenschaft der Keramik ist.
Mit den im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Simulationen wird der Einfluss von Mikrostrukturparametern und Phaseneigenschaften berechnet. Auf der Grundlage dieser Simulationen können die Architektur des Gefüges simuliert und die Eigenschaften von Keramiken für individuelle Anwendungen berechnet werden. Dies ist die Basis für die Produktion von maßgeschneiderten Keramiken. Zudem können mit den validierten Mikrostrukturmodellen die Eigenschaften von unbekannten Mischphasen ermittelt werden, was experimentell oft nicht möglich ist.
Die Mikrostruktur von Zirkonoxid–Aluminiumoxid Keramiken wurde im Rasterelektronenmikroskop (REM) untersucht und mittels quantitativer Bildanalyse weiter charakterisiert. Die so erhaltenen spezifischen morphologischen Kennwerte wurden mit denen, die an dreidimensionalen Modellstrukturen äquivalent gewonnen wurden, verglichen. Es wurden modifizierte Voronoistrukturen benutzt, um die beteiligten Phasen in repräsentativen Volumenelementen (RVE) auf Voxelbasis zu erzeugen. Poren wurden an den Ecken und Kanten dieser Strukturen nachträglich hinzugefüg.
Nachdem alle relevanten Kennwerte der Modellstrukturen an die realen keramischen Mikrostrukturen angepasst wurden, musste das RVE für die Finite Element Simulationen (FES) geeignet vernetzt werden. Eine einfache Übernahme der Voxelstrukturen in hexaedrische Elemente führt zu sehr langen Rechenzeiten, und die erforderliche Genauigkeit der FES konnte nicht erreicht werden. Deshalb wurde zunächst eine adaptive Oberflächenvernetzung ausgehend von einem generally classed marching tetrahedra Algorithmus erzeugt. Dabei wurde besonderer Wert auf die Beibehaltung der zuvor angepassten Kennwerte gelegt. Um die Rechenzeiten zu verkürzen ohne die Genauigkeit der FES zu beeinträchtigen, wurden die Oberflächenvernetzungen dergestalt vereinfacht, dass eine hohe Auflösung an den Ecken und Kanten der Strukturen erhalten blieb, während sie an flachen Korngrenzen stark verringert wurde. Auf Basis dieser Oberflächenvernetzung wurden Volumenvernetzungen, inklusive der Abbildung der Korngrenzen durch Volumenelemente, erzeugt und für die FES benutzt. Dazu wurde ein FE-Modell zur Simulation der Impedanzspektren aufgestellt und validiert.
Um das makroskopische elektrische Verhalten der polykristallinen Keramiken zu simulieren, mussten zunächst die elektrischen Eigenschaften der beteiligten Einzelphasen gemessen werden. Dazu wurde eine Anlage zur Impedanzspektroskopie bis 1000 °C aufgebaut und verwendet. Durch weitere Auswertung der experimentellen Daten unter besonderer Berücksichtigung der Korngrenzeffekte wurden die individuellen Phaseneigenschaften erhalten.
Die Zusammensetzung der Mischkeramiken reichte von purem Zirkonoxid (3YSZ) bis zu purem Aluminiumoxid. Es wurde eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den experimentellen und simulierten Werten bezüglich der betrachteten elektrischen, mechanischen und thermischen Eigenschaften erreicht. Die FES wurden verwendet, um die Einflüsse verschiedener mikrostruktureller Parameter, wie Porosität, Korngröße und Komposition, auf das makroskopische Materialverhalten näher zu untersuchen.
Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete.
Orogene Prozesse in kontinentalen Kollisionszonen werden in zwei- und dreidimensionalen numerischen Modellen auf Basis der Finite-Elemente Methode (FEM) untersucht. Dabei stehen die Verteilung der Deformation innerhalb der Modellkruste, die korrespondierenden Spannungsfelder und die aus Temperaturfelddaten und Partikelpfaden abgeleitete metamorphe Entwicklung von Krustengesteinen im Vordergrund. Die Studie gliedert sich in einen methodischen Teil, umfangreiche Parameterstudien und spezielle Anwendungen auf fossile und rezente Orogene. Kontinentale Kollisionszonen sind - insbesondere in den tieferen Krustenstockwerken – durch hohe Beträge penetrativer Deformation gekennzeichnet. Im methodischen Teil der Arbeit wird eine Technik vorgestellt, mit deren Hilfe Verformungen des beobachteten Umfangs mit dem auf rein LAGRANGEscher Formulierung basierenden kommerziellen FE-Programmpaket ANSYS® modelliert werden können. Die speziell für Fragestellungen orogener Krustendynamik entwickelten Programmpakete OROTRACK bzw. OROTRACK3D umfassen Neuvernetzungs- und Ergebnisverwaltungsalgorithmen, die eine Modellierung von Konvergenzbeträgen bis zu mehreren hundert Kilometern erlauben. Zusätzlich können mittels einer Schnittstelle zu Oberflächenmodellen die Folgen exogener Prozesse auf die orogene Dynamik berücksichtigt werden. Weitere Charakteristika der Modellierungstechnik sind eine vollständige thermomechanische Kopplung, die Anwendung differenzierter Materialeigenschaften für verschiedene Krustenstockwerke sowie die Möglichkeit, die Deformation - den lokal herrschenden Druck- und Temperaturbedingungen entsprechend - entweder durch spröde oder duktile Materialgesetze zu approximieren. Die zur Beschreibung eines Kollisionsszenarios aufgebrachten Randbedingungen basieren auf den Grundlagen eines Mantelsubduktionsmodells (Willett et al. 1993). In 2D-Modellen wird ebene Verformung in einem Schnitt durch die kontinentale Kruste zweier kollidierender Platten modelliert, die basal einer vom lithosphärischen Mantel aufgeprägten Verschiebung unterliegen. Wird der lithosphärische Mantel der linken Platte an einem Punkt S unter die rechte Platte subduziert, ergibt sich für den linken Modellteil eine horizontale Verschiebung der Modellbasis nach rechts, während im rechten Modellteil keine Verschiebung der Modellbasis erlaubt ist. Im Bereich des Punktes S kommt es zu einer Diskontinuität der basalen Geschwindigkeit und somit zu maximaler Deformation. In publizierten Kollisionsmodellen, die auf ähnlichen Ansätzen beruhen, wird häufig rein sprödes Materialverhalten angenommen oder der duktile Anteil der Kruste durch geringe Krustentemperaturen klein und hochviskos gehalten. Unter diesen Bedingungen kann eng auf das Orogenzentrum lokalisierte Deformation mit einem typischerweise bivergenten Strukturmuster abgebildet werden (Willett et al. 1993 u.a.). Demgegenüber beweist eine erste Reihe zweidimensionaler Parameterstudien eine starke Abhängigkeit des beobachteten Deformationsmusters von den herrschenden Krustentemperaturen und der Konvergenzrate. Bei höheren Krustentemperaturen bildet sich demnach ein Entkopplungshorizont an der Krustenbasis, der für die oberen Krustenstockwerke eine verbreiterte und diffuse Deformationszone bedingt und die erzielte Krustenverdickung limitiert. Über die Verformungsratenabhängigkeit des duktilen Materialverhaltens und den unterschiedlichen Grad thermischer Reequilibrierung innerhalb der verdickten Kruste haben Variationen der Konvergenzrate ähnliche Auswirkungen auf das orogene Deformationsmuster. Verbesserte Modelle mit Neuvernetzungstechnik werden in Parameterstudien getestet, die den Einfluss unterschiedlicher Temperatur-Viskositätsfunktionen auf die Lokalisierung der Deformation und die resultierende synkonvergente Exhumierung metamorpher Gesteine quantifizieren. Ein rheologisches Verhalten, das eine effiziente mechanische Kopplung innerhalb des Krustenprofils gewährleistet, ist demzufolge nicht nur Voraussetzung für lokalisierte Krustenverdickung, sondern auch für rasche Exhumierung von Unterkrustengesteinen durch ein Zusammenspiel von Erosion und isostatischer Hebung. Die Modelle zeigen weiter, dass maximale Exhumierungsbeträge bei rheologisch vergleichsweise festem Verhalten der Unterkruste erzielt werden. Im Einzelnen kann die Variabilität der Versenkungs- und Exhumierungsgeschichte von Materialpunkten im Modellschnitt aus synthetischen PT-Pfaden ersehen werden. Der Wirkungskomplex um Krustentemperaturen, orogene Deformationslokalisierung und synkonvergente Exhumierung ist für die Kollisionsphase der variscischen Orogenese in Mitteleuropa von besonderer Bedeutung. Hochtemperaturmetamorphose und weitverbreitete granitoide Intrusionstätigkeit sind hier Ausdruck hoher Krustentemperaturen; dennoch sind an den Grenzen der klassischen tektonometamorphen Einheiten - im Bereich von Schwarzwald und Vogesen sowie der Mitteldeutschen Kristallinschwelle (MDKS) - eng lokalisierte Teilorogene mit bivergentem Strukturmuster sowie eine rasche synkonvergente Exhumierung amphibolitfazieller Gesteine dokumentiert. Ein solches Nebeneinander ist aus Sicht der Parameterstudien nur durch eine vergleichsweise hochviskose Unterkrustenrheologie zu erklären. In einer Fallstudie zur MDKS kommen in neueren experimentellen Arbeiten bestimmte Kriechparameter (Mackwell et al. 1998) zur Anwendung, mit denen ein derartiges Materialverhalten simuliert werden kann. Der in den reflexionsseismischen Profilen DEKORP 2N und 2S dokumentierte großmaßstäbliche Strukturbau im Bereich des rhenohercynischen Falten- und Überschiebungsgürtels, der MDKS und des saxothuringischen Beckens, sowie die an heute exhumierten Gesteine bestimmten metamorphen Maximalbedingungen können auf dieser Grundlage numerisch reproduziert werden. Eine Erweiterung der Modellierungstechnik auf dreidimensionale FE-Modelle dient der Berücksichtigung orogenparalleler Deformation, die im Randbereich von Kollisionszonen in effektivem Materialtransport resultieren kann; diese Prozesse sind u.a. als „tectonic escape“ (Burke & Sengör 1986) oder „lateral extrusion“ (Ratschbacher et al. 1991b) beschrieben worden. Unter der Annahme orthogonaler Konvergenz wird im 3D-Modell der Mantelsubduktionsansatz der 2D-Modelle zunächst in orogenparalleler Richtung extrudiert (Randbereich des Kollisionsorogens). Im angrenzenden, hinteren Teil des Modells (laterales Vorland des Kollisionsorogens) ist die Modellbasis dagegen keiner Verschiebung oder Fixierung unterworfen. Die Modellränder unterliegen hier einer sogenannten „no-tilt“-Bedingung, die eine differentielle Horizontalverschiebung initial übereinanderliegender Knoten verbietet. In einer Reihe von Parameterstudien werden das kinematische Muster, die räumliche Verteilung der Deformation und die zeitlichen Variationen des oberflächlichen Spannungsfelds untersucht, die sich bei modifizierten Randbedingungen ergeben. Laterale Extrusion ist demnach im Randbereich von Kollisionsorogenen trotz unterschiedlichster Modellszenarien stets präsent. Da die Lateralbewegungen zeitgleich mit der Kollision einsetzen und im Laufe der weiteren konvergenten Krustenverkürzung nur wenig beschleunigt werden, ist der von horizontalen Kräften ausgelöste „tectonic escape“ der dominierende Prozess, während gravitativ induzierte Bewegungen nur eine sekundäre Rolle spielen. Rigide Modellränder in Teilen des lateralen Vorlands modifizieren sowohl Umfang als auch Verteilung der Horizontalbewegungen, ihre Auswirkungen auf das Orogen selbst sind dagegen vergleichsweise gering. Variationen der Krustentemperaturen, der Konvergenzrate und der Unterkrustenrheologie beeinflussen dagegen sowohl die orogene Deformation als auch die des lateralen Vorlands. Unter der Annahme einer festen, isotropen Kopplung zwischen der Krustenbasis und dem bewegten lithosphärischen Mantel werden Extrusionsraten simuliert, die 30% der Konvergenzrate nicht überschreiten. Bis zu 70% können dagegen erreicht werden, wenn eine orogenparallele Beweglichkeit der Modellbasis gestattet wird. Die überragende Bedeutung dieser basalen Randbedingung erlaubt eine Interpretation des miozänen lateralen Extrusionsereignisses in den Ostalpen (z.B. Ratschbacher et al. 1991a). Wenn im Bereich der heutigen Ostalpen zu Beginn der lateralen Extrusion noch kein orogene Topographie bestand (Frisch et al. 1998), fand laterale Extrusion zeitgleich mit bedeutender Krustenverdickung statt; dies spricht für eine Dominanz des von horizontalen Kräften induzierten Prozesses „tectonic escape“ über gravitatives Kollabieren. In jedem Fall legt das in etwa ausgeglichene Verhältnis zwischen Plattenkonvergenz und lateraler Extrusion die Existenz eines basalen Entkopplungshorizonts nahe. Andere Faktoren, die zur Erklärung des Extrusionsereignisses herangezogen werden, z.B. die Indentation der Südalpen oder ein extensives Regime im Bereich des Pannonischen Beckens, können das Deformationsmuster beeinflusst haben, die beobachteten Verschiebungsbeträge sind damit jedoch aus Sicht der Modellstudien nicht plausibel zu machen. Aufgrund ihres großen Maßstabs lassen sich die Verhältnisse bei der Kollision Indiens mit der Eurasischen Platte bislang nur phänomenologisch mit den Modellergebnissen vergleichen. Eine skalierte Fallstudie bleibt somit eine Herausforderung für zukünftige FE-Modelle.
Charakteristisch für die Lösbarkeit von elliptischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit Nebenbedingungen ist das Auftreten einer inf-sup-Bedingung. Im prototypischen Fall der Stokes-Gleichungen ist diese auch als Ladyzhenskaya-Bedingung bekannt. Die Gültigkeit dieser Bedingung, bzw. die Existenz der zugehörigen Konstante ist eine Eigenschaft des Gebietes, innerhalb dessen die Differentialgleichung gelöst werden soll. Während die Existenz schon die Lösbarkeit garantiert, ist beispielsweise für Fehleraussagen bei der numerischen Approximation auch die Größe der Konstanten sehr wichtig. Insbesondere auch deshalb, weil eine ähnliche inf-sup-Bedingung auch bei der Diskretisierung mittel Finiter-Elemente-Methoden auftaucht, die hier Babuska-Brezzi-Bedingung heißt. Die Arbeit befaßt sich auf der einen Seite mit einer analytischen Abschätzung der Ladyzhenskaya-Konstante für verschiedene Gebiete, wobei Äquivalenzen mit verwandten Problemen aus der komplexen Analysis (Friedrichs-Ungleichung) und der Strukturmechanik (Kornsche Ungleichung) benutzt werden. Ein weiterer Teil befaßt sich mit dem Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Ladyzhenskaya- Konstante und diskreter Babuska-Brezzi-Konstante. Die dabei gefundenen Ergebnisse werden mit Hilfe eines dazu entwickelten leistungsfähigen Finite-Elemente-Programmsystems numerisch verifiziert. Damit können erstmals genaue Abschätzungen der Konstanten in zwei und drei Dimensionen gefunden werden. Aufbauend auf diesen Resultaten wird ein schneller Lösungsalgorithmus für die Stokes-Gleichungen vorgeschlagen und anhand von problematischen Gebieten dessen Überlegenheit gegenüber klassischen Verfahren wie beispielsweise der Uzawa-Iteration demonstriert. Während selbst bei einfachen Geometrien eine Konvergenzbeschleunigung um einen Faktor 5 erwartet werden kann, sind in kritischen Fällen Faktoren bis zu 1000 möglich.