## Multiobjective Traveling Salesman Problems and Redundancy of Complete Sets

### Mehrkriterielle Traveling Salesman Probleme und Redundanz vollständiger Mengen

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• The first part of this thesis deals with the approximability of the traveling salesman problem. This problem is defined on a complete graph with edge weights, and the task is to find a Hamiltonian cycle of minimum weight that visits each vertex exactly once. We study the most important multiobjective variants of this problem. In the multiobjective case, the edge weights are vectors of natural numbers with one component for each objective, and since weight vectors are typically incomparable, the optimal Hamiltonian cycle does not exist. InsteadThe first part of this thesis deals with the approximability of the traveling salesman problem. This problem is defined on a complete graph with edge weights, and the task is to find a Hamiltonian cycle of minimum weight that visits each vertex exactly once. We study the most important multiobjective variants of this problem. In the multiobjective case, the edge weights are vectors of natural numbers with one component for each objective, and since weight vectors are typically incomparable, the optimal Hamiltonian cycle does not exist. Instead we consider the Pareto set, which consists of those Hamiltonian cycles that are not dominated by some other, strictly better Hamiltonian cycles. The central goal in multiobjective optimization and in the first part of this thesis in particular is the approximation of such Pareto sets. We first develop improved approximation algorithms for the two-objective metric traveling salesman problem on multigraphs and for related Hamiltonian path problems that are inspired by the single-objective Christofides' heuristic. We further show arguments indicating that our algorithms are difficult to improve. Furthermore we consider multiobjective maximization versions of the traveling salesman problem, where the task is to find Hamiltonian cycles with high weight in each objective. We generalize single-objective techniques to the multiobjective case, where we first compute a cycle cover with high weight and then remove an edge with low weight in each cycle. Since weight vectors are often incomparable, the choice of the edges of low weight is non-trivial. We develop a general lemma that solves this problem and enables us to generalize the single-objective maximization algorithms to the multiobjective case. We obtain improved, randomized approximation algorithms for the multiobjective maximization variants of the traveling salesman problem. We conclude the first part by developing deterministic algorithms for these problems. The second part of this thesis deals with redundancy properties of complete sets. We call a set autoreducible if for every input instance x we can efficiently compute some y that is different from x but that has the same membership to the set. If the set can be split into two equivalent parts, then it is called weakly mitotic, and if the splitting is obtained by an efficiently decidable separator set, then it is called mitotic. For different reducibility notions and complexity classes, we analyze how redundant its complete sets are. Previous research in this field concentrates on polynomial-time computable reducibility notions. The main contribution of this part of the thesis is a systematic study of the redundancy properties of complete sets for typical complexity classes and reducibility notions that are computable in logarithmic space. We use different techniques to show autoreducibility and mitoticity that depend on the size of the complexity class and the strength of the reducibility notion considered. For small complexity classes such as NL and P we use self-reducible, complete sets to show that all complete sets are autoreducible. For large complexity classes such as PSPACE and EXP we apply diagonalization methods to show that all complete sets are even mitotic. For intermediate complexity classes such as NP and the remaining levels of the polynomial-time hierarchy we establish autoreducibility of complete sets by locally checking computational transcripts. In many cases we can show autoreducibility of complete sets, while mitoticity is not known to hold. We conclude the second part by showing that in some cases, autoreducibility of complete sets at least implies weak mitoticity.
• Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Approximierbarkeit des Traveling Salesman Problems, bei welchem man in vollständigen Graphen mit Kantengewichten eine Rundreise mit minimalem Gewicht sucht. Es werden die wichtigsten mehrkriteriellen Varianten dieses Problems betrachtet, bei denen die Kantengewichte aus Vektoren natürlicher Zahlen mit einer Komponente pro Kriterium bestehen. Verschiedene Rundreisen sind bei mehrkriteriellen Kantengewichten häufig unvergleichbar, und dementsprechend existiert oft keine eindeutige optimaleDer erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Approximierbarkeit des Traveling Salesman Problems, bei welchem man in vollständigen Graphen mit Kantengewichten eine Rundreise mit minimalem Gewicht sucht. Es werden die wichtigsten mehrkriteriellen Varianten dieses Problems betrachtet, bei denen die Kantengewichte aus Vektoren natürlicher Zahlen mit einer Komponente pro Kriterium bestehen. Verschiedene Rundreisen sind bei mehrkriteriellen Kantengewichten häufig unvergleichbar, und dementsprechend existiert oft keine eindeutige optimale Rundreise. Stattdessen fasst man jene Rundreisen, zu denen jeweils keine eindeutig bessere Rundreise existiert, zu der sogenannten Pareto-Menge zusammen. Die Approximation solcher Pareto-Mengen ist die zentrale Aufgabe in der mehrkriteriellen Optimierung und in diesem Teil der Arbeit. Durch Techniken, die sich an Christofides' Heuristik aus der einkriteriellen Approximation orientieren, werden zunächst verbesserte Approximationsalgorithmen für das zweikriterielle metrische Traveling Salesman Problem auf Multigraphen und für analog definierte Hamiltonpfadprobleme entwickelt. Außerdem werden Argumente gegen eine signifikante Verbesserung dieser Algorithmen aufgezeigt. Weiterhin werden mehrkriterielle Maximierungsvarianten des Traveling Salesman Problems betrachtet, bei denen man Rundreisen mit möglichst großem Gewicht in jedem Kriterium sucht. Es werden einkriterielle Techniken auf den mehrkriteriellen Fall übertragen, bei denen man zunächst eine Kreisüberdeckung mit hohem Gewicht berechnet und anschließend pro Kreis die Kante mit dem niedrigsten Gewicht löscht. Die Auswahl einer solchen Kante pro Kreis ist im mehrkriteriellen Fall nicht trivial, weil mehrkriterielle Gewichtsvektoren häufig unvergleichbar sind. Es wird ein allgemeines Lemma entwickelt, welches dieses Problem löst und damit eine Übertragung der einkriteriellen Maximierungsalgorithmen auf den mehrkriteriellen Fall ermöglicht. Dadurch ergeben sich verbesserte, randomisierte Approximationsalgorithmen für die mehrkriteriellen Maximierungsvarianten des Traveling Salesman Problems. Abschließend werden zu diesen Problemvarianten deterministische Algorithmen entwickelt. Der zweite Teil dieser Arbeit widmet sich Redundanzeigenschaften vollständiger Mengen. Eine Menge heißt autoreduzierbar, wenn zu jeder Instanz x eine von x verschiedene Instanz y mit der gleichen Zugehörigkeit zu der Menge effizient berechnet werden kann. Ist die Menge in zwei äquivalente Teile aufspaltbar, so heißt sie schwach mitotisch, und ist diese Aufspaltung durch einen effizient entscheidbaren Separator erreichbar, so heißt sie mitotisch. Zu verschiedenen Reduktionen und Komplexitätsklassen wird die Frage betrachtet, wie redundant ihre vollständigen Mengen sind. Während sich vorherige Forschung in diesem Gebiet hauptsächlich auf Polynomialzeitreduktionen konzentriert, liefert diese Arbeit eine systematische Analyse der Redundanzeigenschaften vollständiger Mengen für typische Komplexitätsklassen und solche Reduktionen, die sich in logarithmischem Raum berechnen lassen. Je nach Größe der Komplexitätsklasse und Stärke der Reduktion werden dabei verschiedene Techniken eingesetzt. Für kleine Komplexitätsklassen wie beispielsweise NL und P werden selbstreduzierbare, vollständige Mengen benutzt, um Autoreduzierbarkeit aller vollständigen Mengen nachzuweisen, während für große Komplexitätsklassen wie beispielsweise PSPACE und EXP Diagonalisierungsmethoden sogar die Mitotizität vollständiger Mengen zeigen. Für dazwischen liegende Komplexitätsklassen wie beispielsweise NP und die übrigen Level der Polynomialzeithierarchie wird Autoreduzierbarkeit vollständiger Mengen über lokales Testen von Berechnungstranskripten gezeigt. Während in vielen Fällen Autoreduzierbarkeit vollständiger Mengen gezeigt werden kann, bleibt häufig die Frage offen, ob diese Mengen auch mitotisch sind. Abschließend wird gezeigt, dass in einigen Fällen Autoreduzierbarkeit vollständiger Mengen zumindest schwache Mitotizität impliziert.