Matthias Schötz

• This thesis discusses and proposes a solution for one problem arising from deformation quantization: Having constructed the quantization of a classical system, one would like to understand its mathematical properties (of both the classical and quantum system). Especially if both systems are described by ∗-algebras over the field of complex numbers, this means to understand the properties of certain ∗-algebras: What are their representations? What are the properties of these representations? How can the states be described in theseThis thesis discusses and proposes a solution for one problem arising from deformation quantization: Having constructed the quantization of a classical system, one would like to understand its mathematical properties (of both the classical and quantum system). Especially if both systems are described by ∗-algebras over the field of complex numbers, this means to understand the properties of certain ∗-algebras: What are their representations? What are the properties of these representations? How can the states be described in these representations? How can the spectrum of the observables be described? In order to allow for a sufficiently general treatment of these questions, the concept of abstract O ∗-algebras is introduced. Roughly speaking, these are ∗ -algebras together with a cone of positive linear functionals on them (e.g. the continuous ones if one starts with a ∗-algebra that is endowed with a well-behaved topology). This language is then applied to two examples from deformation quantization, which will be studied in great detail.…
• Diese Dissertation behandelt ein Problem aus der Deformationsquantisierung: Nachdem man die Quantisierung eines klassischen Systems konstruiert hat, würde man gerne ihre mathematischen Eigenschaften verstehen (sowohl die des klassischen Systems als auch die des Quantensystems). Falls beide Systeme durch *-Algebren über dem Körper der komplexen Zahlen beschrieben werden, bedeutet dies dass man die Eigenschaften bestimmter *-Algebren verstehen muss: Welche Darstellungen gibt es? Was sind deren Eigenschaften? Wie können die Zustände in diesenDiese Dissertation behandelt ein Problem aus der Deformationsquantisierung: Nachdem man die Quantisierung eines klassischen Systems konstruiert hat, würde man gerne ihre mathematischen Eigenschaften verstehen (sowohl die des klassischen Systems als auch die des Quantensystems). Falls beide Systeme durch *-Algebren über dem Körper der komplexen Zahlen beschrieben werden, bedeutet dies dass man die Eigenschaften bestimmter *-Algebren verstehen muss: Welche Darstellungen gibt es? Was sind deren Eigenschaften? Wie können die Zustände in diesen Darstellungen beschrieben werden? Wie kann das Spektrum der Observablen beschrieben werden? Um eine hinreichend allgemeine Behandlung dieser Fragen zu ermöglichen, wird das Konzept von abstrakten O*-Algebren entwickelt. Dies sind im Wesentlichen *-Algebren zusammen mit einem Kegel positiver linearer Funktionale darauf (z.B. die stetigen positiven linearen Funktionale wenn man mit einer *-Algebra startet, die mit einer gutartigen Topologie versehen ist). Im Anschluss daran wird dieser Ansatz dann auf zwei Beispiele aus der Deformationsquantisierung angewandt, die im Detail untersucht werden.…