## Counting Polynomial Matrices over Finite Fields : Matrices with Certain Primeness Properties and Applications to Linear Systems and Coding Theory

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• This dissertation is dealing with three mathematical areas, namely polynomial matrices over finite fields, linear systems and coding theory. Coprimeness properties of polynomial matrices provide criteria for the reachability and observability of interconnected linear systems. Since time-discrete linear systems over finite fields and convolutional codes are basically the same objects, these results could be transfered to criteria for non-catastrophicity of convolutional codes. We calculate the probability that specially structured polynomialThis dissertation is dealing with three mathematical areas, namely polynomial matrices over finite fields, linear systems and coding theory. Coprimeness properties of polynomial matrices provide criteria for the reachability and observability of interconnected linear systems. Since time-discrete linear systems over finite fields and convolutional codes are basically the same objects, these results could be transfered to criteria for non-catastrophicity of convolutional codes. We calculate the probability that specially structured polynomial matrices are right prime. In particular, formulas for the number of pairwise coprime polynomials and for the number of mutually left coprime polynomial matrices are calculated. This leads to the probability that a parallel connected linear system is reachable and that a parallel connected convolutional codes is non-catastrophic. Moreover, the corresponding probabilities are calculated for other networks of linear systems and convolutional codes, such as series connection. Furthermore, the probabilities that a convolutional codes is MDP and that a clock code is MDS are approximated. Finally, we consider the probability of finding a solution for a linear network coding problem.
• Diese Dissertation beschäftigt sich mit drei Teilgebieten der Mathematik, nämlich Polynommatrizen über endlichen Körpern, linearen Systemen und Faltungscodes. Teilerfremdheitseigenschaften für Polynommatrizen stellen Kriterien für die Erreichbarkeit und Beoabachtbarkeit eines vernetzten linearen Systems zur Verfügung. Da zeit-diskrete lineare dynamische Systems und Faltungscodes im Prinzip diesselben Objekte darstellen, können diese Resultate in Kriterien dafür, dass ein Faltungscode nicht-katastrophal ist, übersetzt werden. Wir berechnen dieDiese Dissertation beschäftigt sich mit drei Teilgebieten der Mathematik, nämlich Polynommatrizen über endlichen Körpern, linearen Systemen und Faltungscodes. Teilerfremdheitseigenschaften für Polynommatrizen stellen Kriterien für die Erreichbarkeit und Beoabachtbarkeit eines vernetzten linearen Systems zur Verfügung. Da zeit-diskrete lineare dynamische Systems und Faltungscodes im Prinzip diesselben Objekte darstellen, können diese Resultate in Kriterien dafür, dass ein Faltungscode nicht-katastrophal ist, übersetzt werden. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass Polynommatrizen von spezieller Struktur rechtsprim sind. Im Besonderen, werden Formeln für die Anzahl paarweise teilerfremder Polynome sowie für die Anzahl wechselweise links-teilerfremder Polynommatrizen berechnet. Dies führt zu der Wahrscheinlichkeit, dass eine Parallelschaltung linearer Systeme erreichbar ist und dass eine Parallelschaltung von Faltungscodes nicht-katastrophal ist. Zudem werden andere Netzwerke linearen Systeme und von Faltungscodes, wie z.B. Reihenschaltung betrachtet. Des weiteren werden die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Faltungscode MDP und dass ein Blockcode MDS ist, approximiert. Schließlich, betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, eine Lösung für ein lineares Netzwerk-Kodierungsproblem zu finden.

Subtitle (English): Matrices with Certain Primeness Properties and Applications to Linear Systems and Coding Theory Dr. Julia LiebORCiDGND urn:nbn:de:bvb:20-opus-151303 Doctoral Thesis Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Mathematik Prof. Dr. Peter Müller, Prof. Dr. Joachim Rosenthal 2017/06/14 English 2017 1. Auflage Würzburg University Press Würzburg 978-3-95826-064-1 (print) 978-3-95826-065-8 (online) 164 https://doi.org/10.25972/WUP-978-3-95826-065-8 5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 512 Algebra Lineares System; Faltungscode; Matrizenpolynom MatrixpolynomPolynomial matrices; convolutional code; linear system 2017/09/29 Prof. Dr. Uwe Helmke Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, 978-3-95826-064-1, 24,90 EUR. CC BY-SA: Creative-Commons-Lizenz: Namensnennung, Weitergabe unter gleichen Bedingungen