## On Beatty sets and some generalisations thereof

### Über Beatty-Mengen und einige Verallgemeinerungen dieser

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303
• Beatty sets (also called Beatty sequences) have appeared as early as 1772 in the astronomical studies of Johann III Bernoulli as a tool for easing manual calculations and - as Elwin Bruno Christoffel pointed out in 1888 - lend themselves to exposing intricate properties of the real irrationals. Since then, numerous researchers have explored a multitude of arithmetic properties of Beatty sets; the interrelation between Beatty sets and modular inversion, as well as Beatty sets and the set of rational primes, being the central topic of this book.Beatty sets (also called Beatty sequences) have appeared as early as 1772 in the astronomical studies of Johann III Bernoulli as a tool for easing manual calculations and - as Elwin Bruno Christoffel pointed out in 1888 - lend themselves to exposing intricate properties of the real irrationals. Since then, numerous researchers have explored a multitude of arithmetic properties of Beatty sets; the interrelation between Beatty sets and modular inversion, as well as Beatty sets and the set of rational primes, being the central topic of this book. The inquiry into the relation to rational primes is complemented by considering a natural generalisation to imaginary quadratic number fields.
• Zu gegebener Beatty-Menge $$\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}$$ mit irrationalem $$\alpha>1$$ und $$\beta\in\mathbb{R}$$, sowie gegebener Primzahl $$p$$ und hierzu teilerfremdem $$z$$ untersuchen wir das Problem der Auffindung von Punkten $$(m,\tilde{m})$$ auf der modularen Hyperbel $\mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\}$ mit $$\max\{ m, \tilde{m} \}$$ so klein wie möglich, d.h. wir für gewisse $$\alpha$$ beweisen nichttriviale Abschätzungen für $Zu gegebener Beatty-Menge $$\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}$$ mit irrationalem $$\alpha>1$$ und $$\beta\in\mathbb{R}$$, sowie gegebener Primzahl $$p$$ und hierzu teilerfremdem $$z$$ untersuchen wir das Problem der Auffindung von Punkten $$(m,\tilde{m})$$ auf der modularen Hyperbel \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\}$ mit $$\max\{ m, \tilde{m} \}$$ so klein wie möglich, d.h. wir für gewisse $$\alpha$$ beweisen nichttriviale Abschätzungen für $\min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \}.$ Der Beweis fußt auf neuen Abschätzungen für unvollständige Kloosterman-Summen entlang $$\mathscr{B}(\alpha,\beta)$$, welche durch das Speisen einer Methode von Banks und Shparlinski mit neuen Abschätzungen für die periodische Autokorrelation der endlichen Folge $0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with $$y$$ indivisible by $$p$$},$ erhalten werden; (Hierbei bezeichnet $$\overline{m}$$ die eindeutige natürliche Zahl $$m'\in[1,p)$$ mit $$mm'\equiv 1\bmod p$$ und wir schreiben $$\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)$$.) Für letzteres adaptieren wir Ideen von Kloosterman. Des weiteren untersuchen wir Mengen der Form $$\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}$$. Wir zeigen, dass diese stets in einer gewöhnlichen Beatty-Menge $$\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})$$ enthalten sind und geben zulässige Werte für $$\tilde{\alpha}$$ und $$\tilde{\beta}$$ an. Das Komplement $$\mathscr{C} = \mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta}) \setminus \{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}$$ erweist sich als endliche Menge und wir bestimmen obere Schranken für das Supremum von $$\mathscr{C}$$. Die Beweise gründen sich auf einfache Verteilungseigenschaften der Folge der Nachkommastellen $$\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}$$, $$n=1,2,\ldots$$, sofern $$\alpha_1^{-1}\alpha_2$$ irrational ist, und berufen sich anderenfalls auf die Endlichkeit der Frobenius-Zahl einer geeignet gewählten Instanz des Frobeniusschen Münzproblems. Abschließend verallgemeinern wir die Definition von Beatty-Mengen auf imaginär-quadratische Zahlkörper in einer natürlichen Weise. Hat der fragliche Zahlkörper Klassenzahl $$1$$, so können wir zeigen, dass diese Beatty-artigen Mengen unendlich viele Primelemente enthalten, sofern der zugehörige Parameter $$\alpha$$ nicht im betrachteten Zahlkörper enthalten ist. Für den speziellen Zahlkörper $$\mathbb{Q}(i)$$ erhalten wir unter Benutzung des Hurwitzschen Kettenbruch-Algorithmus eine Zahlkörper-Variante eines früheren Resultats von Steuding und dem Autor, welches ein Beatty-Analogon des klassischen Linnikschen Satzes über die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression darstellt. Die erwähnten Resultate werden durch Zahlkörper-Varianten von klassischen Ergebnissen über die Verteilung von $$\{ p\vartheta \}$$, $$p=2,3,5,7,11,\ldots$$, $$\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$, erhalten; Diese wurden kürzlich von Baier mittels der Harmanschen Siebmethode für $$\mathbb{Q}(i)$$ bewiesen. Wir übertragen die zugehörigen Überlegungen auf Zahlkörper mit Klassenzahl $$1$$.
• For Beatty sets $$\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}$$ with irrational $$\alpha>1$$ and $$\beta\in\mathbb{R}$$, and $$p$$ prime and coprime to $$z$$, we investigate the problem of detecting points $$(m,\tilde{m})$$ on the modular hyperbola $\mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\}$ with $$\max\{ m, \tilde{m} \}$$ as small as possible, i.e., we obtain non-trivial estimates for $\min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \,For Beatty sets $$\mathscr{B}(\alpha,\beta) = \{ n\alpha+\beta : n\in\mathbb{N} \}$$ with irrational $$\alpha>1$$ and $$\beta\in\mathbb{R}$$, and $$p$$ prime and coprime to $$z$$, we investigate the problem of detecting points $$(m,\tilde{m})$$ on the modular hyperbola \[ \mathscr{H}_{z,p} = \{(m,\tilde{m}) \in \mathbb{Z}^2\cap[1,p )^2 : m\tilde{m}\equiv z\mod p\}$ with $$\max\{ m, \tilde{m} \}$$ as small as possible, i.e., we obtain non-trivial estimates for $\min\{ \max\{ m, \tilde{m} \} : (m,\tilde{m})\in\mathscr{H}_{z,p}, \, m\in\mathscr{B}(\alpha,\beta) \}$ for certain $$\alpha$$. The proof rests on new estimates for incomplete Kloosterman sums along $$\mathscr{B}(\alpha,\beta)$$ which are in turn obtained on supplying a method due to Banks and Shparlinski with a new estimate for the periodic autocorrelation of the finite sequence $0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}),\, \operatorname{e}_p(y\overline{2}),\, \ldots,\, \operatorname{e}_p(y\overline{p-1}), \quad \text{with $$y$$ indivisible by $$p$$},$ ($$\overline{m}$$ denoting the unique integer $$m'\in[1,p)$$ with $$mm'\equiv 1\bmod p$$ and $$\operatorname{e}_p(x) = \exp(2\pi i x/p)$$, the latter being obtained from adapting an argument due to Kloosterman. Furthermore, we investigate sets of the shape $$\{\lfloor m\alpha_1+n\alpha_2+\beta\rfloor : m,n\in\mathbb{N} \}$$. We show that they are always contained in some ordinary Beatty set $$\mathscr{B}(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})$$ where we give admissible choices for $$\tilde{\alpha}$$ and $$\tilde{\beta}$$. Their respective complement $$\mathscr{C}$$ in this ordinary Beatty set is shown to be finite and bounds for the supremum of $$\mathscr{C}$$ are provided. The proofs are based on basic distribution properties of the sequence of fractional parts $$\{n\alpha_1^{-1}\alpha_2\}$$, $$n=1,2,\ldots$$, when $$\alpha_1^{-1}\alpha_2$$ is irrational, and appeal to the finiteness of the Frobenius number associated with a suitably chosen instance of the Frobenius coin problem otherwise. Lastly, we generalise the definition of Beatty sets to imaginary quadratic number fields in a natural fashion. Assuming the number field in question to have class number $$1$$, we are able to show that these Beatty-type sets contain infinitely many prime elements provided that the parameter corresponding to $$\alpha$$ from above is not contained in the number field. When the number field is $$\mathbb{Q}(i)$$, then, using the Hurwitz continued fraction expansion, we obtain a number field analogue of a previous result of Steuding and the author, who gave a Beatty set analogue of Linnik's famous theorem on the least prime number in an arithmetic progression. These results are obtained from number field analogues of classical results about the distribution of $$\{ p\vartheta \}$$, $$p=2,3,5,7,11,\ldots$$, $$\vartheta\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$, which were worked out recently by Baier for $$\mathbb{Q}(i)$$ using Harman's sieve method. We generalise these arguments to imaginary quadratic number fields with class number $$1$$.

Author: Marc TechnauORCiDGND urn:nbn:de:bvb:20-opus-163303 Doctoral Thesis Universität Würzburg, Fakultät für Mathematik und Informatik Fakultät für Mathematik und Informatik / Institut für Mathematik Prof. Dr. Jörn Steuding, Prof. Dr. Stephan Baier 2018/06/20 English 2018 1. Auflage Würzburg University Press Würzburg 978-3-95826-088-7 (Print) 978-3-95826-089-4 (Online) xv, 88 https://doi.org/10.25972/WUP-978-3-95826-089-4 5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 512 Algebra Zahlentheorie Beatty sequence; Diophantine approximation; Kloosterman sum; distribution modulo one; imaginary quadratic field; prime number 11-XX NUMBER THEORY / 11Bxx Sequences and sets / 11B83 Special sequences and polynomials 11-XX NUMBER THEORY / 11Jxx Diophantine approximation, transcendental number theory [See also 11K60] / 11J17 Approximation by numbers from a fixed field 11-XX NUMBER THEORY / 11Kxx Probabilistic theory: distribution modulo 1; metric theory of algorithms / 11K60 Diophantine approximation [See also 11Jxx] 11-XX NUMBER THEORY / 11Lxx Exponential sums and character sums (For finite fields, see 11Txx) / 11L07 Estimates on exponential sums 11-XX NUMBER THEORY / 11Lxx Exponential sums and character sums (For finite fields, see 11Txx) / 11L20 Sums over primes 2018/09/10 Parallel erschienen als Druckausgabe in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-088-7, 21,80 EUR. CC BY-SA: Creative-Commons-Lizenz: Namensnennung, Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International