## On coverings and reduced residues in combinatorial number theory

### Über Abdeckungen und prime Restklassen in kombinatorischer Zahlentheorie

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:20-opus-293504
• Our starting point is the Jacobsthal function $$j(m)$$, defined for each positive integer $$m$$ as the smallest number such that every $$j(m)$$ consecutive integers contain at least one integer relatively prime to $$m$$. It has turned out that improving on upper bounds for $$j(m)$$ would also lead to advances in understanding the distribution of prime numbers among arithmetic progressions. If $$P_r$$ denotes the product of the first $$r$$ prime numbers, then a conjecture of Montgomery states that $$j(P_r)$$ can be bounded from above by $$rOur starting point is the Jacobsthal function \(j(m)$$, defined for each positive integer $$m$$ as the smallest number such that every $$j(m)$$ consecutive integers contain at least one integer relatively prime to $$m$$. It has turned out that improving on upper bounds for $$j(m)$$ would also lead to advances in understanding the distribution of prime numbers among arithmetic progressions. If $$P_r$$ denotes the product of the first $$r$$ prime numbers, then a conjecture of Montgomery states that $$j(P_r)$$ can be bounded from above by $$r (\log r)^2$$ up to some constant factor. However, the until now very promising sieve methods seem to have reached a limit here, and the main goal of this work is to develop other combinatorial methods in hope of coming a bit closer to prove the conjecture of Montgomery. Alongside, we solve a problem of Recamán about the maximum possible length among arithmetic progressions in the least (positive) reduced residue system modulo $$m$$. Lastly, we turn towards three additive representation functions as introduced by Erdős, Sárközy and Sós who studied their surprising different monotonicity behavior. By an alternative approach, we answer a question of Sárközy and demostrate that another conjecture does not hold.
• Der Startpunkt dieser Arbeit ist die Jacobsthal-Funktion $$j(m)$$, die für jede natürliche Zahl $$m$$ als die kleinste Zahl definiert ist, so dass je $$j(m)$$ aufeinanderfolgende ganze Zahlen mindestens eine zu $$m$$ teilerfremde Zahl enthalten. Es hat sich herausgestellt, dass Verbesserungen oberer Abschätzungen für $$j(m)$$ gleichzeitig zu Fortschritten im Verständnis der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Folgen führen. Bezeichnet $$P_r$$ das Produkt der ersten $$r$$ Primzahlen, dann besagt eine Vermutung von Montgomery, dassDer Startpunkt dieser Arbeit ist die Jacobsthal-Funktion $$j(m)$$, die für jede natürliche Zahl $$m$$ als die kleinste Zahl definiert ist, so dass je $$j(m)$$ aufeinanderfolgende ganze Zahlen mindestens eine zu $$m$$ teilerfremde Zahl enthalten. Es hat sich herausgestellt, dass Verbesserungen oberer Abschätzungen für $$j(m)$$ gleichzeitig zu Fortschritten im Verständnis der Verteilung der Primzahlen in arithmetischen Folgen führen. Bezeichnet $$P_r$$ das Produkt der ersten $$r$$ Primzahlen, dann besagt eine Vermutung von Montgomery, dass $$j(P_r)$$ bis auf einen konstanten Faktor durch $$r (\log r)^2$$ von oben abgeschätzt werden kann. Allerdings scheinen die hier bisher sehr vielversprechenden Siebmethoden eine Grenze erreicht zu haben, und das Hauptziel dieser Arbeit ist es andere kombinatorische Methoden zu entwickeln, in der Hoffnung einem Beweis der Vermutung von Montgomery ein wenig näher zu kommen. Auf diesem Weg lösen wir nebenbei ein Problem von Recamán über die maximal mögliche Länge unter den arithmetischen Folgen im kleinsten (positiven) primen Restklassensystem modulo $$m$$. Außerdem wenden wir uns am Ende drei additiven Darstellungsfunktionen zu, wie sie von Erdős, Sárközy und Sós eingeführt wurden, die deren überraschend unterschiedliches Monotonieverhalten untersucht haben. Mit einem alternativen Ansatz beantworten wir hier eine Frage von Sárközy und zeigen auf, dass eine andere Vermutung nicht bestehen kann.