## Extreme Value Theory in Higher Dimensions - Max-Stable Processes and Multivariate Records

### Höherdimensionale Extremwerttheorie - Max-Stabile Prozesse und Multivariate Rekorde

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• Extreme value theory is concerned with the stochastic modeling of rare and extreme events. While fundamental theories of classical stochastics - such as the laws of small numbers or the central limit theorem - are used to investigate the asymptotic behavior of the sum of random variables, extreme value theory focuses on the maximum or minimum of a set of observations. The limit distribution of the normalized sample maximum among a sequence of independent and identically distributed random variables can be characterized by means of so-calledExtreme value theory is concerned with the stochastic modeling of rare and extreme events. While fundamental theories of classical stochastics - such as the laws of small numbers or the central limit theorem - are used to investigate the asymptotic behavior of the sum of random variables, extreme value theory focuses on the maximum or minimum of a set of observations. The limit distribution of the normalized sample maximum among a sequence of independent and identically distributed random variables can be characterized by means of so-called max-stable distributions. This dissertation concerns with different aspects of the theory of max-stable random vectors and stochastic processes. In particular, the concept of 'differentiability in distribution' of a max-stable process is introduced and investigated. Moreover, 'generalized max-linear models' are introduced in order to interpolate a known max-stable random vector by a max-stable process. Further, the connection between extreme value theory and multivariate records is established. In particular, so-called 'complete' and 'simple' records are introduced as well as it is examined their asymptotic behavior.
• Die Extremwerttheorie behandelt die stochastische Modellierung seltener und extremer Ereignisse. Während fundamentale Theorien in der klassischen Stochastik, wie etwa die Gesetze der großen Zahlen oder der zentrale Grenzwertsatz das asymptotische Verhalten der Summe von Zufallsvariablen untersucht, liegt in der Extremwerttheorie der Fokus auf dem Maximum oder dem Minimum einer Menge von Beobachtungen. Die Grenzverteilung des normierten Stichprobenmaximums unter einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen kann durchDie Extremwerttheorie behandelt die stochastische Modellierung seltener und extremer Ereignisse. Während fundamentale Theorien in der klassischen Stochastik, wie etwa die Gesetze der großen Zahlen oder der zentrale Grenzwertsatz das asymptotische Verhalten der Summe von Zufallsvariablen untersucht, liegt in der Extremwerttheorie der Fokus auf dem Maximum oder dem Minimum einer Menge von Beobachtungen. Die Grenzverteilung des normierten Stichprobenmaximums unter einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen kann durch sogenannte max-stabile Verteilungen charakterisiert werden. In dieser Dissertation werden verschiedene Aspekte der Theorie der max-stabilen Zufallsvektoren und stochastischen Prozesse behandelt. Insbesondere wird der Begriff der 'Differenzierbarkeit in Verteilung' eines max-stabilen Prozesses eingeführt und untersucht. Ferner werden 'verallgemeinerte max-lineare Modelle' eingeführt, um einen bekannten max-stabilen Zufallsvektor durch einen max-stabilen Prozess zu interpolieren. Darüber hinaus wird der Zusammenhang von extremwerttheoretischen Methoden mit der Theorie der multivariaten Rekorde hergestellt. Insbesondere werden sogenannte 'vollständige' und 'einfache' Rekorde eingeführt, und deren asymptotisches Verhalten untersucht.